麦卡托投影法


麦卡托投影法 （正體）

墨卡托世界地图（1569年）

麦卡托投影法，又称墨卡托投影法、正轴等角圆柱投影，是一种等角的圆柱形地图投影法。本投影法得名于杰拉杜斯·麦卡托，法兰提斯出身的地理学家、地图学家。他于1569年发表长202厘米、宽124厘米以此方式绘制的世界地图。在以此投影法绘制的地图上，经纬线于任何位置皆垂直相交，使世界地图可以绘制在一个长方形上。由于可显示任两点间的正确方位并将大圆航线显示为直线，航海用途的海图、航路图大都以此方式绘制。在该投影中线型比例尺在图中任意一点周围都保持不变，从而可以保持大陆轮廓投影后的角度和形状不变（即等角）；但麦卡托投影会使面积产生变形，极点的比例甚至达到了无穷大。

目录

数学计算

地图上纵向方位（图中的横轴）和纬度（图中的纵轴）的关系。

下列公式定义在使用麦卡托投影的地图中，从纬线φ和经线λ（其中λ0是地图的中央经线）如何推导为坐标系中的点坐标x和y。

这是古德曼函数的逆推导：

\begin{align} x & = \lambda - \lambda_0 \\ y & = \ln \left(\tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2} \right) \right) \\ & = \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin(\varphi)}{1 - \sin(\varphi)} \right) \\ & = \sinh^{-1} \left( \tan(\varphi)\right) \\ & = \tanh^{-1} \left( \sin(\varphi)\right) \\ & = \ln \left(\tan(\varphi) + \sec(\varphi)\right). \end{align}

这是古德曼函数：

\begin{align} \varphi & = 2\tan^{-1}(e^y) - \frac{\pi}{2} \\ & = \tan^{-1}(\sinh(y)) \\ \lambda & = x + \lambda_0. \end{align}

比例尺与纬度φ的正割成比例，越趋向极地（φ = ±90°）面积变形越大。此外，由公式可知，极点处的y值为正负无穷大。

公式推导

麦卡托投影是一种等角投影。

假设地球为正球形。（实际上并非为正球形，而是有扁率的，但制作小比例尺地图时误差可忽略不计。若需更精确，可插入等角纬线。）我们需要将经纬度坐标（λ, φ）转换为笛卡尔坐标(x, y)，求以赤道为基准的切柱面投影（即x = λ），并保持形状不变，故：

\frac{\partial x}{\partial \lambda} = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}
\frac{\partial y}{\partial \lambda} = -\cos(\varphi) \frac{\partial x}{\partial \varphi}

从 x = λ 可知

\frac{\partial x}{\partial \lambda} = 1
\frac{\partial x}{\partial \varphi} = 0

给出

1 = \cos(\varphi) \frac{\partial y}{\partial \varphi}
0 = \frac{\partial y}{\partial \lambda}

因此，y是φ的唯一函数，且可得到y'=\sec\varphi，由积分表

y = \ln(|\sec(\varphi) + \tan(\varphi)|) + C.\,

在地图中φ = 0得到y = 0，所以取C = 0.

以麦卡托投影法绘制的地图。

参见

参考资料

  • Snyder, John P.（1987年）．Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395．United States Government Printing Office, Washington, D.C． 可至USGS pages下载。
  • Monmonier, Mark（2004年）．Rhumb Lines and Map Wars．Chicago：The University of Chicago Press． 
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 3; Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth. Taipei: Caves Books Ltd.
  • Needham, Joseph (1986). Science and Civilization in China: Volume 4, Physics and Physical Technology, Part 3, Civil Engineering and Nautics. Taipei: Caves Books Ltd.






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