电动势


电动势 （正體）

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电磁学
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在物理学里，电动势（英语：electromotive force）指的是促使电流（真实的电子和离子）流动的机制[1]。

更详细地定义，形成一个断开电路两端的电势差，所需做出的单位电荷的功，就是电动势[2]。电动势促使正电荷和负电荷被分离至断开电路的两端，因而也产生从正电荷指向负电荷的电场和其伴随的电势差[3]。这分离动作会继续不停，直到电势差能够抗衡电动势的作用为止。假设，现在用电线连结一个负载于断开电路的两端，立刻，这电动势会促使电荷，从高电势处，经过负载，流动到低电势处，这动作形成了电流。

能够供应电动势的元件有很多种，例如，电池、热电装置、太阳能芯片、发电机，变压器，范德格拉夫起电机等等[2]。

电池靠着位于电极的化学反应来产生电动势。这些化学反应分离正负电荷至电池的两端点，从而造成电势差。伏打电池是大多数电池的原型。伏打电池可以试想为，在每一个电极，都装有一个原子尺寸的电荷泵；也就是说，

"试想电动势源为一种电荷泵；它能将正电荷，从低电势端，经过其本身，移动到高电势端.....使用化学，机械或其它机制，电动势源将那正电荷 q\,\! 移至高电势端，所做出的功是 W\,\! 。电动势源的电动势 \mathcal{E}\,\! 定义为单位电荷所做的功 \mathcal{E}=W/q\,\!" [4]。

在发电机里，电动势的运作所遵守的主要原理是法拉第电磁感应定律。含时磁场通过电磁感应生成电场，而这电场造成了发电机两端的电荷分离和电势差。电荷从一个端点移动到另外一个端点，直到两端的分离电荷所产生的电场能够阻止更多的电荷分离。电动势与电荷分离产生的电势差相互抗衡。假设在发电机两端连结一个负载，则电动势会驱使电流通过负载。

太阳能电池或光电二极管是另外一种电动势源；太阳能电池使用光能为外来能源。

目录

标记与度量单位

电动势通常会以希腊字母 \mathcal{E}\,\! 标记。

给予一个内部电阻为零的元件，假设电荷 Q\,\! 由于通过元件，增加了能量 W\,\! ，则元件的净电动势为单位电荷的增加的能量 W/Q\,\! 。采用国际单位制，就像其它单位电荷的能量的度量，电动势的单位是伏特，等价于焦耳／库仑。采用厘米-克-秒制，电动势的单位是静伏特，等价于尔格／静库仑[5]。

历史

从1825年到1826年之间，格奥尔格·欧姆做了很多有关于电路的实验。1827年，在他发表的书《Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet》（直流电路的数学研究）里面，陈述有很多这些实验和从这些实验中得到的结果，包括著名的“欧姆定律”。欧姆注意到电路所需要的电源是由电池供给的，电池与电路内的各种物理现象应该有密切关系。他推论电池具有某种驱动力，能够驱使电流的流动于电路。他将几个伏打电池串联在一起，发觉电流与伏打电池的数量成正比。因此，他提出驱动力与电流成正比。这驱动力就是现在的电动势，在一个简单的电阻电路里，电动势等于电流乘以电阻。

后来，于1831年，麦可·法拉第做了一系列有关电磁感应的实验，从这些实验，他发现

  • 当改变载流导线的电流时，附近的闭合电路会被感应出电流。
  • 当移动磁铁时，附近的闭合电路会被感应出电流。
  • 当移动闭合电路于载流导线或磁铁附近时，这闭合电路会被感应出电流。

于1832年，法拉第又发现，产生于不同导线的感应电流与导线的电导率成正比。由于电导率与电阻成反比，这显示出感应作用涉及了电动势，感应电流是由电动势驱使导线的电荷移动而形成的；而且，不论导线是开路电路，或是闭合电路，都会感应出电动势[6]。

严格定义

当处于平衡状态时，在一个开路的电动势源内部，电荷分离所造成的保守性静电场 \mathbf{E}_{cs}\,\! 所产生的电势差，完全抵销了分离电荷的电动势 \mathcal{E}\,\! 。电场沿着电动势源的内部路径，从负端点 a\,\! 到正端点 b\,\! 的积分，与电动势大小相等，正负相反。正值的电动势等于电场从负端点 a\,\! 到正端点 b\,\! 的电动势源的内部路径积分，是移动电子于电动势源的内部路径，从负端点到正端点，所做的功[7]。以方程表达，

\mathcal{E} = - \int_{a}^{b} \mathbf{E}_{cs} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\! ；

其中，\mathrm{d} \boldsymbol{\ell}\,\! 是微小线元素矢量。

对于闭合回路的案例，假设在一个闭合回路 \mathcal{C}\,\! 内部有含时磁场 \mathbf{B}\,\! 穿过，则会有感应电动势 \mathcal{E}\,\! 出现于这闭合回路：

\mathcal{E}= - \int_{\mathcal{S}} \frac{\partial\mathbf{B}}{\mathrm{d}t}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}= - \frac{\mathrm{d}\phi_B}{\mathrm{d}t}\,\! ；

其中，\mathcal{S}\,\! 是边缘为闭合回路 \mathcal{C}\,\! 的任意曲面，\mathrm{d}\mathbf{a}\,\! 是微小面元素矢量，\phi_B\,\! 是穿过曲面 \mathcal{S}\,\! 的磁通量。

电场绕着闭合回路的电场环流量不等于零，而会等于感应电动势[8]：

\mathcal{E}=\oint_{\mathcal{C}} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,\! ；

其中， \mathbf{E}\,\! 是总电场，包括保守性电场和非保守性电场。

对于这案例，静电场并不是总电场的维一的贡献者。静电场部分是保守的。静电场部分绕着闭合回路的电场环流量等于零。

这定义可以延伸至任意电动势源和移动的闭合回路 \mathcal{C}\,\![9]：

\mathcal{E}=\oint_{C}\left(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right)\ \cdot\ \mathrm{d} \boldsymbol{ \ell } +\frac{1}{q}\oint_{C}\ \mathbf{f}_c \ \cdot\ \mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }+\frac{1}{q}\oint_{C}\ \mathbf{f}_t \ \cdot\ \mathrm{d} \boldsymbol{ \ell }\,\! ;

其中，\mathbf{f}_c\,\! 是单位电荷的有效化学作用力，\mathbf{f}_t\,\! 是单位电荷的有效热作用力，\mathbf{v}\,\! 是微小线元素的移动速度。

由于很难准确的计算出单位电荷的有效化学作用力和单位电荷的有效热作用力，这方程只是一个概念方程。

电动势和电势差

  • 电动势定义为非静电力做功与电荷量的比值；电势差定义为静电力做功与电荷量的比值。前者衡量产生电能（非静电能转化为静电能）的能力；后者衡量消耗电能（静电能转化为非静电能）的能力。
  • 在一般的电路中，电动势的积分路径是在电源当中，电势差则是沿着外电路积分。在数值上，电动势等于路端电压。

热力学电动势

在热力学里，电动势 \mathcal{E}\,\! 乘以电荷量 Z\,\! ，就是分离电荷所做的功项目。对于可逆过程，当电动势促使电荷在电池内移动时，内能的变化包括这项目：

\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S - P\mathrm{d}V+ \mathcal{E}\mathrm{d}Z\,\! ；

其中，U\,\! 是内能，S\,\! 是熵，T\,\! 是绝对温度，V\,\! 是体积，P\,\! 是压强。

假设电池为丹尼耳电池，由于在这种电池内进行的反应不会产生气体，系统体积不变，方程简化为

\mathrm{d}U = T\mathrm{d}S + \mathcal{E}\mathrm{d}Z\,\! 。

让熵 S\,\! 为 T\,\! 和 Z\,\! 的函数，熵的全微分为

\mathrm{d}S =\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_Z \mathrm{d}T+ \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \mathrm{d}Z\,\! 。

假设等温过程，那么，方程右手边的第一个项目等于零：

\mathrm{d}S = \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \mathrm{d}Z\,\! 。

将这方程带入内能的方程：

\mathrm{d}U =\left\{\mathcal{E}+T\left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T \right\}\mathrm{d}Z\,\! 。

这方程右手边的第二个项目是充电热(heat of charging)，定义为在一个等温可逆的充电过程，系统的热能吸收率 C_T^{(Z)}\,\! ：

C_T^{(Z)}\stackrel{=}{def}\frac{\mathrm{d}Q_T}{\mathrm{d}Z}=T\left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T\,\! 。

吸收率 C_T^{(Z)}\,\! 比较不容易计算，可以找更有用的变量替换。思考亥姆霍兹自由能 F\,\! ：

\mathrm{d}F = \mathrm{d}U - \mathrm{d}(TS)= - S\mathrm{d}T + \mathcal{E}\mathrm{d}Z\,\! 。

(\mathcal{E},\ Z)\,\! 是一对共轭变量。其麦克斯韦关系式为：

\left(\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial T}\right)_Z= - \left(\frac{\partial S}{\partial Z}\right)_T\,\! 。

带入内能的方程：

\mathrm{d}U =\left\{\mathcal{E} - T\left(\frac{\partial \mathcal{E}}{\partial T}\right)_Z \right\}\mathrm{d}Z\,\! 。

通常，电动势相依于温度 T\,\! 和电荷量 Z\,\! 。假若，能够使丹尼耳电池内的溶液保持饱和状态，有很多离子化合物随时准备分解进入溶液，则电动势不相依于电荷量，只相依于温度：

\mathrm{d}U =\left(\mathcal{E} - T\frac{\mathrm{d} \mathcal{E}}{\mathrm{d} T}\right) \mathrm{d}Z\,\! 。

对于丹尼耳电池，体积不变，假设等压过程，则焓的改变，称为反应热，等于内能的改变：

\Delta H=\Delta(U+PV)=\Delta U\,\! 。

使得一摩尔的金属原子进入溶液所需要的电荷量为

\Delta Z = zN_A e\,\! ；

其中，z\,\! 是金属离子的电价，N_A\,\! 是阿伏伽德罗常量，e\,\! 是基本电荷量。

假设恒压、恒体积，则电池的热力学性质与电动势的紧密关系，以方程表达为

\Delta H = zN_A e \left( \mathcal{E} - T \frac {d\mathcal{E}}{\mathrm{d}T}\right)\,\! 。

仔细观察这方程，可以发觉，只要得到电动势与温度的关系资料，从测量电动势和温度的数据，很容易就能够准确地计算出一个化学反应的反应热。

动生电动势

一条长度为 L\,\! 的细直导线以速度 \mathbf{v}\,\! 移动于磁场 \mathbf{B}\,\! 。

许多发电机的基本运作原理涉及动生电动势概念。将导线移动于磁场，则会产生电动势，称为动生电动势。如图右[10]，假设一条长度为 L\,\! 的细直导线，以速度 \mathbf{v}\,\! 移动于磁场 \mathbf{B}\,\! 。磁场 \mathbf{B}\,\! 以箭尾或叉叉表示，方向是射入显示屏幕的方向。思考在这导线内的电荷 q\,\! ，根据洛伦兹力定律，会感受到洛伦兹力 \mathbf{F}_{lorentz}\,\! ：

\mathbf{F}_{lorentz} =q\mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\! 。

在这里，洛伦兹力也是磁场力。因为这磁场力的作用，正电荷会往导线的上端移动，负电荷会往导线的下端移动。在稳定平衡状态，这动作会形成一个电场 \mathbf{E}\,\! ：

\mathbf{E} = - \mathbf{v}\times\mathbf{B}\,\! 。

电动势定义为，形成开路电路的两个终端的电势差，对于每单位电荷所需做的功。所以，动生电动势 \mathcal{E}\,\! 为

\mathcal{E} =\int_L \frac{\mathbf{F_{lorentz}}}{q}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} =vBL\,\! 。

在这个例子里，稳定平衡状态时的电流等于零。假设载流导线与其他元件连结成一个电路，则会因为动生电动势而产生电流。例如，将一个电阻 R\,\! 与导线的两端相连结，则流过电阻的电流 I\,\! 为

I=\mathcal{E}/R==vBL/R\,\! 。

法拉第电磁感应定律

在时间 t\,\! ，以闭合回路 \partial\Sigma(t)\,\! 为边缘的曲面 \Sigma(t)\,\! ，和通过此曲面 \Sigma(t)\,\! 的磁场 \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\,\! 。
一个以常速度 \mathbf{v}\,\! 移动于磁场 \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\,\! 的闭合回路 \partial\Sigma(t)\,\! 。
主条目：法拉第电磁感应定律

法拉第电磁感应定律阐明，穿过任意闭合回路的磁通量的变化率，与这回路的电动势成正比：

\mathcal{E}= - \frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}\,\! ；

其中，\mathcal{E}\,\! 是电动势，\Phi_B\,\! 是磁通量，t\,\! 是时间。

在时间 t\,\! 通过任意曲面 \Sigma(t)\,\! 的磁通量 \Phi_B(t)\,\! 定义为

\Phi_B(t)\ \stackrel{def}{=}\ \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}\,\! ；

其中，\mathbf{r}\,\! 是位置，\mathrm{d}\mathbf{a}\,\! 是微小面元素。

给予一个以常速度 \mathbf{v}\,\! 移动于磁场的闭合回路 \partial\Sigma(t)\,\! 。那么，磁通量对于时间的全微分是[11]

\begin{align} \mathrm{d}\Phi_B(t) & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t+\mathrm{d}t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\ & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} +\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \mathrm{d}t \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\Sigma(t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\ & =\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \mathrm{d}t \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} +\int_{\Sigma_{total}} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\Sigma_{ribbon}} \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t)\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} \\ \end{align}\,\! ；

其中，\Sigma(t)\,\! 是边缘为 \partial\Sigma(t)\,\! 的曲面，\Sigma_{total}\,\! 是包括 \Sigma(t+\mathrm{d}t)\,\! 、 - \Sigma(t)\,\! 和 \Sigma_{ribbon}\,\! 的闭合曲面，\Sigma_{ribbon}\,\! 是边缘 \partial\Sigma(t+\mathrm{d}t)\,\! 和 \partial\Sigma(t)\,\! 形成的边缘曲面。

根据散度定理和高斯磁定律，

\int_{\Sigma_{total}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=\int_{\mathcal{V}_{total}} \nabla\cdot\mathbf{B} \mathrm{d}\tau=0\,\! ；

其中，\mathcal{V}_{total}\,\! 是闭合曲面 \Sigma_{total}\,\! 包含的空间，\mathrm{d}\tau\,\! 是微小体元素。

通过边缘曲面 \Sigma_{ribbon}\,\! 的磁通量可以改变成一个线积分：

\int_{\Sigma_{ribbon}} \mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a} =\int_{\partial\Sigma(t)}\mathbf{B}\cdot[\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\times(\mathbf{v}\mathrm{d}t)] =\int_{\partial\Sigma(t)}[(\mathbf{v}\mathrm{d}t)\times\mathbf{B}]\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,\! 。

所以，磁通量对于时间的全导数，或磁通量的变化率为

\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}=\int_{\Sigma(t+\mathrm{d}t)} \frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\,t) }{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a} - \int_{\partial\Sigma(t)} \mathbf{v}\times\mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,\! 。

运动于移动的闭合回路 \partial\Sigma(t)\,\! 的一个电荷 q\,\! 的速度 \mathbf{w}\,\! 为

\mathbf{w}=\mathbf{u}+\mathbf{v}\,\! ；

其中，\mathbf{u}\,\! 是相对于闭合回路 \partial\Sigma(t)\,\! 的电荷运动速度，\mathbf{v}\,\! 是闭合回路 \partial\Sigma(t)\,\! 的移动速度。

这电荷会感受到洛伦兹力

\mathbf{F}=q(\mathbf{E} +\mathbf{w}\times\mathbf{B})\,\! ；

电动势 \mathcal{E}\,\! 定义为

\mathcal{E}\ \stackrel{def}{=}\ \int_{\partial\Sigma}\frac{\mathbf{F}}{q}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_{\partial\Sigma}(\mathbf{E} +\mathbf{w}\times\mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,\! 。

根据法拉第电磁感应定律，

\mathcal{E}= - \frac{\mathrm{d}\Phi_B}{\mathrm{d}t}=\int_{\partial\Sigma}(\mathbf{E} +\mathbf{w}\times\mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,\! 。

在计算积分时，闭合回路 \partial\Sigma(t)\,\! 的微小线元素 \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}\,\! 与正在那位置的电荷的 \mathbf{u}\,\! 平行。所以，

\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}= - \int_{\partial\Sigma}(\mathbf{E} +\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \,\! 。

令两个磁通量变化率的方程相等，除去同有的移动的闭合回路项目，则可得到

\int_{\partial\Sigma}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}= - \int_{\Sigma} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}\,\! 。

应用斯托克斯定理， \int_{\partial\Sigma}\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}=\int_{\Sigma} \nabla\times\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}\,\! ，可以得到

\int_{\Sigma} \left(\nabla\times\mathbf{E} + \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}=0\,\! 。

由于 \Sigma\,\! 是任意取面，可以将被积式从积分中取出：

\nabla\times\mathbf{E}= - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\,\! 。

这是麦克斯韦-法拉第方程。由于这方程的右手边是个对于时间的偏导数项目，只涉及固定的闭合回路，不能用来计算移动中的闭合回路。

用麦克斯韦-法拉第方程，通常对于时间的偏导数的诠释只限制为固定边界。而在另一方面，不论导线的闭合回路是刚硬固定的、是在运动中、是在形变过程中，不论磁场是不含时的或含时的，法拉第电磁感应定律都成立。但是，对于某些案例，法拉第电磁感应定律并不适用或使用起来很困难。这时候，必须使用洛伦兹力定律。详尽细节，请参阅法拉第电磁感应定律不适用案例。

假设闭合回路移动于不相依于时间的磁场 \mathbf{B}\,\! ，通过闭合回路的磁通量 \Phi_B\,\! 会因为几种因素而改变：例如，假若磁场 \mathbf{B}\,\! 随着位置改变，闭合回路移动至不同磁场 \mathbf{B}\,\! 的位置，则磁通量 \Phi_B\,\! 会改变。或者，假若相对于磁场，闭合回路的定向改变，由于微小元素 \mathbf{B}\cdot \mathrm{d}\mathbf{a}\,\! 的改变，磁通量 \Phi_B\,\! 也会改变。再举一个例子，假若闭合回路扫掠过一个均匀的不含时磁场，由于闭合回路的形变，磁通量 \Phi_B\,\! 会改变。对于这三个案例，法拉第电磁感应定律正确地计算出磁通量变化率 \frac{d \Phi_B}{\mathrm{d}t}\,\! 所产生的电动势。

对比前面所述状况，假设固定的闭合回路处于含时磁场 \mathbf{B}\,\! ，麦克斯韦-法拉第方程会显示出一个非保守性的电场 \mathbf{E}\,\! 产生于闭合回路，靠着洛伦兹力的 q\mathbf{E}\,\! 项目，驱使载电粒子移动于导线。这状况也会改变磁通量 \Phi_B\,\! ，法拉第电磁感应定律也会正确地计算出磁通量变化率 \frac{d \Phi_B}{\mathrm{d}t}\,\! 所产生的电动势。

电动势和路端电压的关系

在实际应用中，电源不可避免地有一定的内阻。在电路中，内阻总要相当于一个用电器负载一定的电压，并消耗电能。

放点电路

在放电电路中，二者关系为：ε = U + Ir，其中U表示路端电压，I表示回路电流，r表示内阻。

充电电路

在充电电路中，二者关系为：ε = U − Ir，其中U表示外加充电电源提供给被充电电源两端的电压。

参阅

参考文献

  1. ^ Irving Langmuir, The Relation Between Contact Potentials and Electrochemical Action, Transactions of the American Electrochemical Society. The Society. 1916, 29: 125–182 
  2. ^ 2.0 2.1 Lawrence M Lerner, Physics for scientists and engineers, Jones & Bartlett Publishers. 1997:  724–727, ISBN 0763704601 
  3. ^ Robert L. Lehrman, Physics the easy way, Barron's Educational Series. 1998:  274, ISBN 9780764102363 
  4. ^ Kongbam Chandramani Singh, §3.16 EMF of a source, Basic Physics, Prentice Hall India Pvt Ltd. 2009:  152, ISBN 8120337085 
  5. ^ Van Valkenburgh, Basic Electricity, Cengage Learning. 1995:  1–46, ISBN 9780790610412 
  6. ^ Whittaker, E. T., A history of the theories of aether and electricity. Vol 1, Nelson, London. 1951:  pp. 95-96, 191-192 
  7. ^ David J Griffiths, Introduction to Electrodynamics. 3rd, Pearson/Adisson Wesley. 1999:  292–300, ISBN 013805326X 
  8. ^ Richard P. Olenick, Tom M. Apostol and David L. Goodstein, Beyond the mechanical universe: from electricity to modern physics, Cambridge University Press. 1986:  245, ISBN 9780521304306 
  9. ^ David M. Cook, The Theory of the Electromagnetic Field, Courier Dover. 2003:  158, ISBN 9780486425672 
  10. ^ Tai L. Chow, Electromagnetic theory, Sudbury MA: Jones and Bartlett. 2006:  pp. 172-175, ISBN 0-7637-3827-1 
  11. ^ Flanders, Harley, Differentiation under the integral sign, American Mathematical Monthly. Jun-Jul 1973, 80 (6): 615–627, doi:10.2307/2319163 
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