集合论

集合论 （正體）

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集合论是一门研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含集合、元素和成员关系等数学中最基本的概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。集合论和逻辑与一阶逻辑共同构成了数学的公理化基础，以未定义的“集合”与“集合成员”等术语来形式化地建构数学物件。

在朴素集合论中，集合是被当做一堆物件构成的整体之类的自证概念。

在公理化集合论中，集合和集合成员并不直接被定义，而是先规范可以描述其性质的一些公理。在此一想法之下，集合和集合成员是有如在欧式几何中的点和线，而不被直接定义。

对集合论的异议

一开始，有些数学家拒绝将集合论当做数学的基础，认为这只是一场含有奇幻元素的游戏。埃里特·比修普驳斥集合论是“上帝的数学，应该留给上帝”。而且，路德维希·维特根斯坦特别对无限的操作有疑问，这也和策梅罗-弗兰克尔集合论有关。维特根斯坦对于数学基础的观点曾被保罗·贝奈斯所批评，且被克里斯平·赖特等人密切研究过。

对集合论最常见的反对意见来自结构主义者，他们认为数学是和计算些微相关着的，但朴素集合论却加入了非计算性的元素。

拓朴斯理论曾被认为是传统公理化集合论的另一种选择。拓朴斯理论可以被用来解译各种集合集的替代方案，如结构主义、模糊集合论、有限集合论和可计算集合论等。

另见

• 集合这一条目给出初等集合论的一些基本的介绍。
• 集合论主题列表
• 朴素集合论是由19世纪末的德国数学家康托尔最早提出的集合论。
• 公理化集合论是一个严谨的公理化数学分支，是因为发现了朴素集合论中的一些严重缺陷（如罗素悖论）后发展出来的。
• 策梅罗集合论是由德国数学家恩斯特·策梅洛创立的一套公理系统。
• 约略集合论提供了一个以上下近似来表示集合的方法。
• 策梅罗-弗兰克尔集合论是最常用的公理化集合论，由亚伯拉罕·弗兰克尔和陶拉尔夫·斯科伦扩展了策梅罗集合论所得。
• 冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论是设计生成同策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起同样结果的集合论公理系统，但只有有限数目的公理而不使用公理模式。
• 新基础集合论和正集合论是已被提出的可替代的集合论之中的一部份。
• 内集合论是公理化集合论的扩张，允许微元和其他“不合规范”的数字存在。
• 不同的逻辑会有相应类型的集合（如模糊逻辑中的模糊集合）。
• 音乐集合理论将组合数学和群论应用在音乐上；但事实上，它只使用有限集，这在数学上不论任何一种类型的集合论都不会有所差异。最近两个年代以来，音乐中的转换理论已采用较为严谨的数学集合论。

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