阶乘

阶乘（正體）

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阶乘，定义于整个实数（负整数除外）。
例如： $0! = 1! = 1\,$ ， $(-0.5)! = \sqrt{\pi}$ ， $(0.5)! = \sqrt{\pi}/2.$

阶乘（英语：factorial）是所有小于或等于该数的正整数的积。自然数n的阶乘写作n!。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。

$n!=\prod_{k=1}^n k$ 对于所有 $n\ge0$

即是n!=1×2×3×...×n

规定0!=1。这条式子令阶乘的递归定义在n=0时有效：(n+1)!=n!(n+1)，亦令很多组合数学的恒等式在大小为零时仍有效。

阶乘亦可以用伽玛函数定义，令非整数的数亦有效：

$z!=\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt$

计算

当n不太大时，普通的计数机(科学计算机)都可以计算。大部分计数机能够处理最大的n的阶乘是69!，因为70!>10¹⁰⁰^{[来源请求]}

当n很大时，可以用斯特林公式估计： $n! \sim \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$
更精确的估计是： $n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}$
其中 $\frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}.$