算符 (物理学)


算符 (物理学) （正體）

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在物理学里，算符，又称算子，表示施作于物理态的某种作用。因为算符的作用，物理系统的物理态 (physical state)，会变换为另外一个物理态。通过这个变换，我们时常会得到一些关于这两个物理态的数据。

目录

在经典力学里的角色

思考一个经典力学的物理系统，哈密顿量 H(q,\ p)\,\! 是一个广义坐标 q\,\! 与其共轭动量 p\,\! 的函数。假若，在某种群 G\,\! 的变换运算下，哈密顿量是个不变量；也就是说，假若， \forall S\in G,\ H(S(q,\ p))=H(q,\ p)\,\! ，则 G\,\! 的元素是物理算符。在物理算符将一个物理态映射到另外一个物理态的时候，哈密顿量保持恒定。

再举一个简单例子。假若，一个的物理系统对称于平移运动。设定 T_a\,\! 为一个平移算符，则在 q\to T_a q=q+a\,\! 变换下，哈密顿量保持不变。另外一个对称性算符是执行旋转的旋转算符。

生成子概念

思考一个无穷小的变换，假设其算符的形式为 I+\epsilon A\,\! ；其中， I\,\! 是单位算符，算符的群的单位元，\epsilon\,\! 是无穷小值参数，A\,\! 称为群的生成元，专门用来表示这个变换的功能。让我们导引出一维平移运动的生成元。将平移算符 T_a\,\! 施于函数 f(x)\,\! ，则

T_a f(x)=f(x-a)\,\! 。

假设 ε 为无穷小值，那么，

T_\epsilon f(x)=f(x-\epsilon)\approx f(x) - \epsilon f'(x)\,\! 。

所以，

T_\epsilon f(x) = (I-\epsilon D) f(x)\,\! ；

其中，D\,\! 是平移群的生成元，凑巧也是导引算符。所以，平移群的生成元是导引算符。

指数映射

在正常情况下，应用指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移这案例，重复地施行 N\,\! 次无穷小平移变换 T_{a/N}\,\! ，来代替一个有限值为 a\,\! 的平移变换 T_a\,\! ：

T_a f(x)=T_{a/N} \cdots T_{a/N}\ f(x)\,\! ；

现在，让 N\,\! 变的无穷大，则每一个因子可以被认为无穷小的：

T_a f(x)=\lim_{N\to\infty} T_{a/N} \cdots T_{a/N} f(x)= \lim_{N\to\infty} (I -(a/N) D)^N f(x)\,\! 。

这极限可以重写为一个指数函数：

T_a f(x)= e^{-aD} f(x)\,\! 。

为了要进一步信服这表达式的正确性，将指数展开为一个幂级数：

T_a f(x) = \left(I - aD + {a^2D^2\over 2!} - {a^3D^3\over 3!} + \cdots \right) f(x)\,\! 。

右手边可以重写为

f(x) - a f'(x) + {a^2\over 2!} f''(x) - {a^3\over 3!} f'''(x) + \cdots\,\! 。

这正是 f(x-a)\,\! 的泰勒级数，也是原本表达式 T_a f(x)\,\! 的值。

在量子力学里的角色

在量子力学里，算符充分地发挥了它奇妙的功能。量子力学的数学描述完全地建立于算符的概念。

在量子力学里，一个量子系统的量子态可以用态矢量来抽象地表达；而这态矢量是某种矢量空间（一个希尔伯特空间）的单位范数矢量。在这矢量空间内，时间演化算符促使了量子态谁著时间的演化。因为物体的量子态的范数应该保持不变，时间演化算符必须是么正算符。任何其他的对称性运算，从一个物理态映射至另外一个物理态，应该遵守此限制。

称一个在物理实验中可以观测到的物理量为可观测量。对应于每一个可观测量，都有一个厄米算符。实验观测到的数值是算符的本征值。每个本征值的或然率，跟量子态在那本征值子空间的投影有关系。

量子算符

一个量子系统的量子态，受到量子算符 \hat{O}\,\! 的作用，会变换为另外一个量子态。用方程表达，

|\phi\rangle=\hat{O}|\psi\rangle\,\! ；

其中，|\psi\rangle\,\! 是代表原本量子态的态矢量，而 |\phi\rangle\,\! 则是代表新量子态的态矢量；我们也可以等价地标记 |\phi\rangle\,\! 为 |\hat{O}\psi\rangle\,\! 。

量子算符的概念比较抽象。它能够更加简易的描述量子系统。每一个量子算符，都有一个对应的函数算符 \tilde{O}\,\! 。函数算符的操作对向是态矢量的波函数。函数算符是对于波函数的一些运算指示。用方程表达，

\phi=\tilde{O}\psi\,\! ；

其中，\psi\,\! 是原本态矢量的波函数，而 \phi\,\! 则是新的波函数。

例如，在位置空间里，计算位置的位置算符 \hat{x}\,\! ，其对应的函数算符 \tilde{x}\,\! 就是乘以 x\,\! ：

\tilde{x}=x\,\! 。

计算动量的动量算符 \hat{p}\,\! ，其对应的函数算符 \tilde{p}\,\! 是取随着 x\,\! 的偏微分，然后再乘以 \hbar/i\,\! ：

\tilde{p}= \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\,\! 。

计算能量的哈密顿算符 \hat{H}\,\! ，其对应的函数算符 \tilde{H}\,\! 是

\tilde{H}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V\,\! 。

一般而言，量子算符与函数算符都会用在量子力学里。当我们将算符的这两种概念融会贯通后，两者的区分并不是那么的重要。

期望值

位置的期望值

思考位置的期望值，

\begin{align}\langle x \rangle & =\langle\psi|\hat{x}|\psi\rangle \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(x,\,t)^*\tilde{x}\psi(x,\,t)\ dx \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi(x,\,t)^*x\psi(x,\,t)\ dx \\ \end{align}\,\!。

对于任意波函数 \psi\,\! ，这相等式都成立。所以，位置算符 \hat{x}\,\! ，所对应的函数算符 \tilde{x}=x\,\! ，的确可以用来计算位置的期望值。

动量的期望值

思考位置的期望值随时间的导数， 用积分方程来表达，

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\frac{d}{dt}\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x,\,t)x\psi(x,\,t)\ dx\,\! 。

取微分于积分号下，

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \psi^*(x,\,t)}{\partial t}x\psi(x,\,t) +\psi^*(x,\,t)\frac{\partial x}{\partial t}\psi(x,\,t)+\psi^*x(x,\,t)\frac{\partial \psi(x,\,t)}{\partial t}\ dx\,\! 。

由于 x\,\! 只是一个位置的统计参数，不相依于时间，

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \psi^*}{\partial t}x\psi +\psi^*x\frac{\partial \psi}{\partial t}\ dx\,\! 。(1)

含时薛定谔方程为

i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+V\psi\,\! ；

其中， V\,\! 是位势。

其共轭复数为

i\hbar\frac{\partial \psi^*}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2} - V\psi^*\,\! 。

代入方程 (1)：

\begin{align}\frac{d}{dt}\langle x\rangle & = \frac{1}{i\hbar} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}x\psi - V\psi^*x\psi - \frac{\hbar^2}{2m}\psi^*x\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\psi^*xV\psi\ dx \\ & =\frac{\hbar}{i2m} \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}x\psi - \psi^*x\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\ dx \\ \end{align}\,\! 。

使用分部积分法，

\int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial^2 \psi^*}{\partial x^2}x\psi\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \psi}{\partial x}\ dx \,\! ，(2)
\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}\ dx= - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x}\ dx - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\partial \psi^*}{\partial x}x\frac{\partial \psi}{\partial x}\ dx \,\! 。(3)

方程 (2) 与 (3) 的减差是

(2) - (3)=\int_{ - \infty}^{\infty}\ - \frac{\partial \psi^*}{\partial x}\psi+\psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x}\ dx=2\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\partial \psi}{\partial x}\ dx\,\! 。

所以，

\frac{d}{dt}\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{im}\frac{\partial }{\partial x}\psi\ dx\,\! 。

模仿动量的经典定义，我们定义动量的期望值为质量 m\,\! 乘以位置的期望值 \langle x\rangle\,\! 随时间 t\,\! 的全导数：

\langle p\rangle\equiv m\frac{d}{dt}\langle x\rangle\,\! 。

则

\begin{align}\langle p\rangle & =\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\tilde{p}\psi\ dx \\ & =\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\ dx \\ \end{align}\,\!。

对于任意波函数 \psi\,\! ，这方程都成立。所以，动量算符 \hat{p}\,\! ，所对应的函数算符 \tilde{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\,\! ，的确可以用来计算动量的期望值。

参阅

参考文献

  • 费曼, 理查（2010年2月9日）．费曼物理学讲义 III (3) 薛丁格方程式．台湾：天下文化书，pp. 205-237．ISBN 986-417-672-2． 
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