算术


算术 （正體）

算术是数学最古老且最简单的一个分支，几乎被每个人使用着，从日常上简单的算数到高深的科学及工商业计算都会用到。一般而言，算术这一词指的是记录数字某些运算基本性质的数学分支。常用的运算有加法、减法、乘法、除法，有时候，更复杂的运算如指数和平方根，也包括在算术运算的范畴内。算术运算要按照特定规则来进行。

自然数、整数、有理数（以分数的形式）和实数（以十进制指数的形式）的运算主要是在小学和中学的时候学习。用百分比形式进行运算也主要是在这个时候学习。然而，在成人中，很多人使用计算器，计算机或者算盘来进行数学计算。

专业数学家有时会使用高等算术来指数论，但这不应该和初等算术相搞混。另外，算术也是初等代数的重要部份之一。

目录

历史

算术的史前史只有极小部份能有加法与减法等明确概念的人造物，最著名的一件是在非洲发明的伊珊郭骨头，距今约有两万年的时间。

比较清楚的是，巴比伦尼亚在西元前1850年已有关于各方面初等算术的坚实知识，但历史学家也只能依其算术成果来推断其使用的方式(看巴比伦楔形泥版322(Plimpton322))。同样地，乘法和单位分数的运用的可靠算法也在古埃及的赖因德数学古本中被发现，其约在西元前1650年的时期。

西元前六世纪中叶，毕达哥拉斯学派的时代，算术已被视为四种计量或数学科学中的其中一种了。

十进制计数法

十进制计数法 在基数（前十个非负整数0，1，2，……，9）的基础上构建所有实数。一个十进制数由一个基数序列组成，每一位数字的命名取决于其相对于小数点的位置。例如：507.36表示5个100（102），加0个10（101），加7个最小整数单位1（100），加3个0.1（10-1），加6个0.01（10-2）。该计数法的一个要点（也是其实现的难点）是对0与其它基数一视同仁。

算术运算

算术运算指加法、减法、乘法和除法,但有时也包括较高级的运算(例如百分比、平方根、取幂和对数)。算术按运算次序进行，无何集合可以进行加减乘除四则运算（除以零除外），而四则运算合乎基本公理，都可称之为一个域（Field）。

加法(+)

主条目：加法

加法是基本算术运算。简单来说，加法将两个数字结合，成为一个数字，称之为“和”。把多于两个数相加，可以视为重复的加法；这个过程称为求和，包括在级数中把无穷多个数相加。1的重复加法是计数的最基本的形式。

加法满足交换律和结合律。加法的单位元是0，也就是说，把任何数加上0都得到相同的数。另外，加法的逆元素就是相反数，也就是说，把任何数加上它的相反数都得出单位元0。例如，7的相反数是(-7)，所以7 + (-7) = 0。

减法(−)

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减法是加法的相反。减法是求出两个数（被减数和减数）的差。如果被减数大于减数，那么差为正数；如果被减数小于减数，那么差为负数；如果它们相等，那么差为0。

减法既不满足交换律又不满足结合律。由于这个原因，把减法视为被减数和减数的相反数的加法通常是很有帮助的，也就是说，a − b = a + (−b)。当写成加法时，所有加法的性质都成立。

乘法(× 或 ·)

主条目：乘法

乘法本质上是一组相同数字的重复累加或总和。乘法运算可得出乘数与被乘数（有时被通称为因数）的乘积。

乘法运算（由于其本质是重复累加）具有交换性和结合性；进而，它对加法和减法运算具有分配性。乘法单位为1，即，用1乘以任意数的结果仍为该数。并且，任意数字的乘法逆元素是其倒数，即，用一个数的倒数乘以该数，其结果为乘法单位：1。

除法(÷ 或 /)

主条目：除法

除法是乘法的逆运算。除法运算得到两个数的商：被除数除以除数。任何被除数被零除是没有定义的。对于正数，如果被除数大于除数，其商大于1，否则商小于1（对于负数和-1有类似的规则）。商乘以乘数其结果总是被乘数。

除法运算不具有交换性和结合性。正如可以将减法视为加法，除法亦可被视作被除数和除数的倒数之间的乘法运算，即，a ÷ b = a × 1⁄b 。当被写为乘积形式，运算遵循乘法的所有特性。

例子

加法表

+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

乘法表

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

数论

算术教育

国小时的数学通常专注在自然数、整数、有理数(分数和实数(使用十进制法)等算术的算法。此一学习有时被称为algorism。

这种算法的困难性及无目的性的样貌已让教育学家们很长时间地去思考其课程内容，主张早期应该教导较中心且直觉的数学概念。在此一方向上的著名进展为1960年代至1970年代的新数学运动，它试图以集合论中公理化(高等数学的主流)的精神来教导算术。

当能比人脑更有效地执行运算的电子计算机被发明后，有影响力的学校的教育家们开始声称标准算术演化法的机械化熟练已不再是必须的了。在他们的观点，一年级的数学可以花更多在了解更高等的概念上，如数字被使用来哪里和数字、数量和度量之间的关系等。但无论如何，许多的数学家依然认为手算的熟练会是学习代数和计算机科学的必要基础。这一争论主要集中在加州1990年代国小课程上头，并且延续至今日。

在台湾，算术教育是要采建构式数学，亦或采台湾传统的九九乘法表也有一段争议的时间。但是，因为政府没有清楚说明何为建构式数学，老师们又没多少人懂建构式数学的精神，到现在，学校内几乎没有再听到建构式数学的声音了。

参见

性





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