补集


补集 （正體）

在集合论和数学的其他分支中，存在补集的两种定义：相对补集和绝对补集。

补集可以看作两个集合相减，有时也称作差集。

相对补集

相对补集 A - B

若 A 和 B 是集合，则 A 在 B 中的相对补集，或叫做 B 和 A 的集合论差，是这样一个集合，其元素属于 B，但不属于 A。

A 在 B 中的相对补集通常写作 B − A （或 B \ A）。

形式上：

B - A = \{ x\in B \, | \, x \not \in A \}

例如：

  • {1,2,3} − {2,3,4}   =   {1}
  • {2,3,4} − {1,2,3}   =   {4}
  • 若 \mathbb{R} 是实数集合，\mathbb{Q} 是有理数集合，则 \mathbb{R}-\mathbb{Q} 为无理数集合。

下列命题给出一些相对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些常用性质。

命题 1：若 A，B，C 是集合，则下列恒等式成立：

  • C − (A ∩B)  =  (C − A) ∪(C − B)
  • C − (A ∪B)  =  (C − A) ∩(C − B)
  • C − (B − A)  =  (A ∩C) ∪(C − B)
  • (B − A) ∩C  =  (B ∩C) − A  =  B ∩(C − A)
  • (B − A) ∪C  =  (B ∪C) − (A − C)
  • A − A  =  Ø
  • Ø − A  =  Ø
  • A − Ø  =  A

绝对补集

绝对补集

若给定全集 U，则 A 在 U 中的相对补集称为 A 的绝对补集（或简称补集），写作 AC，即：

AC  =  U − A

（注意：根据ISO与国家标准，A中子集B的补集记作\complement_AB。）

例如，若全集为自然数集合，则奇数集合的补集为偶数集合。

下列命题给出一些绝对补集同并集和交集等集合论运算相关的一些重要性质。

命题 2：若 A 和 B 是全集 U 的子集，则下列恒等式成立：

德·摩根律：
  • (A ∪B)C  =  AC ∩BC
  • (A ∩B)C  =  AC ∪BC
补集律：
  • A ∪AC   =  U
  • A ∩AC  =  Ø
  • ØC  =  U
  • UC  =  Ø
回旋律（重补集律）：
  • ACC  =  A.
相对补集和绝对补集的关系：
  • A − B = A ∩ BC
  • (A − B)C = AC ∪ B

上述表明，若 A 为 U 的非空子集，则 {A, AC } 是 U 的一个分割。

参考

性





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