圆柱坐标系


圆柱坐标系 （正體）

用圆柱坐标 (\rho,\ \phi,\ z)\,\! 来表示一个点的位置

圆柱坐标系是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z-轴的延伸。添加的第三个坐标 z\,\! 专门用来表示 P 点离 xy-平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定 (ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为 (\rho,\ \phi,\ z)\,\! 。

如图右，P 点的圆柱坐标是 (\rho,\ \phi,\ z)\,\! 。

  • \rho\,\! 是 P 点与 z-轴的垂直距离，
  • \phi\,\! 是线 OP 在 xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角，
  • z \,\! 与直角坐标的 z\,\! 等值。
圆柱坐标 (\rho,\ \phi,\ z)\,\! 的坐标曲面。红色圆柱面的 \rho=2\,\! 。蓝色平面的 z=1\,\! 。黄色半平面的 \phi= - 60^{\circ}\,\! 。 z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点 P （以黑球表示）。点 P 的直角坐标大约为 (1.0,\ - 1.732,\ 1.0)\,\! 。

目录

坐标系变换

三维空间里，有许多各种各样的坐标系。圆柱坐标系只是其中一种。圆柱坐标系与其他坐标系的变换需要用到特别的方程式。

直角坐标系

更多资料：直角坐标系

用以下方程式，可以从直角坐标得到圆柱坐标：

{\rho}=\sqrt{x^2 + y^2 }\,\! ，
{\phi}=\arctan \left( {\frac{y}{x}} \right)\,\! ，
z=z\,\! 。

特别注意，当求取方位角时，必须依照 (x,\ y)\,\! 所处的象限来计算正确的反正切值。

相反地, 可以从圆柱坐标得到直角坐标：

x=\rho \cos\phi\,\! ，
y=\rho \sin\phi\,\! ，
z=z\,\! 。

球坐标系

用球坐标 (r,\ \theta,\ \phi)\,\! 来表示一个点的位置
更多资料：球坐标系

用以下方程式，可以从球坐标得到圆柱坐标：

\rho=r\sin\theta\,\! ，
\phi=\phi\,\! ，
z=r\cos\theta\,\! 。

圆柱坐标也可以用以下方程式得到球坐标：

r=\sqrt{\rho^2+z^2}\,\! ，
\theta=\arctan\frac{\rho}{z}\,\! ，
\phi=\phi\,\! 。

坐标因子

圆柱坐标系的坐标因子分别为

h_{\rho} =1\,\! ，
h_{\phi} =\rho\,\! ，
h_{z} =1\,\! 。

在许多关于圆柱坐标系的问题中，我们时常需要知道线元素与体积元素的方程式；用这些方程式来求解关于径长或体积的积分问题。线元素是

\mathrm d\mathbf{r} = \mathrm d\rho\,\boldsymbol{\hat \rho} + \rho\,\mathrm d\varphi\,\boldsymbol{\hat\varphi} + \mathrm dz\,\mathbf{\hat z}\,\! ；

面积元素是

\mathrm dS= \rho\,d\varphi\,dz\,\! 。

体积元素是

\mathrm dV = \rho\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dz\,\! 。

劈形算符表示为

\nabla = \boldsymbol{\hat \rho}\frac{\partial}{\partial \rho} + \boldsymbol{\hat \varphi}\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \varphi} + \mathbf{\hat z}\frac{\partial}{\partial z}\,\! 。

拉普拉斯算子是

\nabla^2 \Phi={1 \over \rho}{\partial \over \partial \rho}\left(\rho{\partial \Phi \over \partial \rho}\right) + {1 \over \rho^2}{\partial^2 \Phi \over \partial \phi^2} + {\partial^2 \Phi \over \partial z^2}\,\! 。

其它微分算子，像 \nabla \cdot \mathbf{F}\,\! ， \nabla \times \mathbf{F}\,\! ，都可以用 (\rho,\ \phi,\ z)\,\! 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

圆柱坐标常被用来分析，选用 z-轴为对称轴，有轴对称特性的物体。例如，一个无限长的圆柱，具有直角坐标方程式 x^2+y^2=c^2\,\!；用圆柱坐标来表示，有一个非常简易的方程式 \rho=c\,\!。这也是圆柱坐标系名称的由来。

参阅

查 • 论 • 编
坐标系
正交坐标系
二维坐标系
三维坐标系
坐标系统
性





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