圆周率

圆周率（正體）

跳过字词转换说明

汉漢▼▲

如果一个圆的直径是1，它的圆周便是π

手写体的π

圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数，其定义为圆形之周长与直径之比。π也等于圆形之面积与半径平方之比，而且是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何量的关键值。

在分析学里，π可以严格地定义为满足 $sin(x) = 0$ 的最小正实数 $x$ ，这里的 $sin()$ 是正弦函数（采用分析学的定义）。

数学的数

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然数 $\mathbb{N}$
整数 $\mathbb{Z}$
二进分数
 有限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb{Q}$
代数数
 实数 $\mathbb{R}$
复数 $\mathbb{C}$
高斯整数

负数
 分数
 单位分数
 无限小数
 规矩数
 无理数
 超越数
 二次无理数
 虚数
 艾森斯坦整数

延伸

双复数
四元数 $\mathbb{H}$
共四元数
八元数 $\mathbb{O}$
超数
上超实数

超复数
 十六元数
复四元数
Tessarine
大实数
超实数

其他

对偶数
双曲复数
 序数
 质数
 同余
可计算数
阿列夫数

公称值
超限数
 基数
 P进数
 规矩数
整数序列
数学常数

π = 3.141592653...
e = 2.718281828...
虚数单位 $i 2 = - 1$
无穷 ∞

近似值

常用π(ㄆㄞ)的十进制近似值为3.141592654，另外还有由祖冲之给出的约率： $\frac{22}{7}$ 及密率： $\frac{355}{113}$ ^[1]。

π的计算及历史

由于π的超越性，所以只能以近似值的方法计算π。对于一般应用3.14或 $\frac{22}{7}$ 已足够，但工程学常利用3.1416（5位有效数字）或3.14159（6位有效数字）。至于密率 $\frac{355}{113}$ 则是一个易于记忆（三个连续奇数：113355），且精确至7位有效数字的分数近似值。

实验时期

中国古籍云：“周三径一”^[2]，意即取π=3。

西元前17世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》（Ahmes，又称“阿梅斯草片文书”；为英国人Alexander Henry Rhind（莱茵德）于1858年发现，因此还称“莱茵德纸草书” Rhind Papyrus）是世界上最早给出圆周率的超过十分位的近似值，为256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81)或3.160。

至阿基米德之前，π值之测定倚靠实物测量。

几何法时期——反复割圆

阿基米德用正96边形割圆术得出圆周率介乎 $3\frac{1}{7}$ 与 $3\frac{10}{71}$ 之间。

西元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割为12、24、48、96、192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（分割愈精细，误差愈少。分割之后再分割，直到不能再分割为止，它就会与圆周完全重叠，就不会有误差了），其中有求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，并以 ${157 \over 50}=3.14$ （徽率）为其分数近似值。

西元466年，中国数学家祖冲之将圆周率算到小数点后7位的精确度，这一纪录在世界上保持了一千年之久。同时，祖冲之给出了 ${355 \over 113}$ （密率）这个很好的分数近似值，它是分母小于10,000的简单分数中最接近π的。为纪念祖冲之对圆周率发展的贡献，日本数学家三上义夫将这一推算值命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。可惜祖冲之的著作《缀术》已经亡佚，后人无从得知祖冲之如何估算圆周率的值。

钱大昕的《十驾斋养新录》卷第十七首条〈圆径周率〉引《隋书律历志》：“古之九数，圆周率三圆径率一，其术疏舛，自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末南徐州从事史祖冲之更开密率，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三（刻本作二，误）丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间，密率圆径一百一十三，圆周三百五十五，约率圆径七，周二十二。又设开差幂、开差立，兼以正圆参之，指要精密，算氏之最者也。”

分析法时期——无穷级数

这一时期人们开始摆脱利用割圆术的繁复计算，开始利用无穷级数或无穷连乘积求π。

鲁道夫·范·科伊伦（约1600年）计算出π的小数点后首35位。他对此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。

斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了John Machin于1706年提出的数式。

所有以上的方法都不能快速算出π。第一个快速算法由梅钦提出：

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

其中arctan(x)可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。

计算机时代

上万位以上的小数位值通常利用高斯-勒让德算法或波温算法；另外以往亦曾使用于1976年发现的萨拉明-布伦特算法。

第一个π和1/π的小数点后首一百万位利用了古腾堡计划。最新纪录是2002年九月得出的1,241,100,000,000个小数位，由拥有1TB主内存的64-node日立超级计算机，以每秒200亿运算速度得出，比旧纪录多算出一倍（206亿小数位）。此纪录由以下梅钦类公式得出：

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$ (K. Takano, 1982年)

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$ (F. C. W. Störmer, 1896年)

这么多的小数位没什么实用价值，只用以测试超级计算机。

1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙·普劳夫发现了π的其中一个无穷级数：

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right)$

以上述公式可以计算π的第n个二进制或十六进制小数，而不需先计算首n-1个小数位。此类π算法称为贝利-波温-劳夫算法。请参考Bailey's website 上相关程式。

Fabrice Bellard于1997年给出了计算机效率上高出上式47%的BBP算法：

$\pi = \frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{{(-1)}^n}{2^{10n}} \left( - \frac{2^5}{4n+1} - \frac{1}{4n+3} + \frac{2^8}{10n+1} - \frac{2^6}{10n+3} - \frac{2^2}{10n+5} - \frac{2^2}{10n+7} + \frac{1}{10n+9} \right)$

请参考Fabrice Bellard's PI page 。

其他计算圆周率的公式包括：

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k!)(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$ (拉马努金Ramanujan)

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$ (David Chudnovsky及Gregory Chudnovsky)

$\pi = \frac {426880 \sqrt {10005}} {\sum_{k=0}^\infty \frac {(6n)!\ (545140134n + 13591409)} { (n!)^3\ (3n)!\ (-640320)^3n}}$ [1]

编写计算机程序时，也可以利用反三角函数直接定义 $π$ 值，但是编译器必须具备三角函数的函式库：
利用正弦函数

$\sin\left(\pi / 2 \right)=1$

$\pi=2*\arcsin\left(1 \right)$

利用余弦函数

$\cos\left(\pi \right)=-1$

$\pi=\arccos\left(-1 \right)$

年表

日期	计算者	π的值 (世界纪录用粗体表示)
前20世纪	巴比伦人	25/8 = 3.125
前20世纪	埃及人Rhind Papyrus	（16/9）² = 3.160493...
前12世纪	中国	3
前6世纪中	圣经列王记上7章23节	3
前434年	阿那克萨哥拉尝试通过尺规作图来化圆为方
前3世纪	阿基米德	223/71 <π< 22/7 (3.140845... < π < 3.142857...) 211875/67441 = 3.14163491...
前20年	Vitruvius	25/8 = 3.125
前50年－23年	刘歆	3.1547^[3]
130年	张衡	92/29 = 3.17241...^[3] √10 = 3.162277...
150年	托勒密	377/120 = 3.141666...
250年	王蕃	142/45 = 3.155555...
263年	刘徽	3.14159
480年	祖冲之	3.1415926 <π< 3.1415927/3.1415929......
499年	Aryabhatta	62832/20000 = 3.1416
598年	Brahmagupta	√10 = 3.162277...
800年	花拉子密	3.1416
12世纪	Bhaskara	3.14156
1220年	比萨的列奥纳多	3.141818
1400年	Madhava	3.1415926359
以后的纪录都仅记录小数点后多少位，而不给出实际数值
1424年	Jamshid Masud Al Kashi	16位小数
1573年	Valenthus Otho	6位小数
1593年	Francois Viete	9位小数
1593年	Adriaen van Roomen	15位小数
1596年	鲁道夫·范·科伊伦	20位小数
1615年	鲁道夫·范·科伊伦	32位小数
1621年	威理博·司乃耳, 范·科伊伦的学生	35位小数
1665年	牛顿	16位小数
1699年	Abraham Sharp	71位小数
1700年	Seki Kowa	10位小数
1706年	John Machin	100位小数
1706年	William Jones引入希腊字母π
1730年	Kamata	25位小数
1719年	De Lagny计算了127个小数位，但并非全部是正确的	112位小数
1723年	Takebe	41位小数
1734年	莱昂哈德·欧拉引入希腊字母π并肯定其普及性
1739年	Matsunaga	50位小数
1761年	Johann Heinrich Lambert证明π是无理数
1775年	欧拉指出π是超越数的可能性
1789年	Jurij Vega 计算了140个小数位，但并非全部是正确的	137位小数
1794年	阿德里安-马里·勒让德证明π²是无理数（则π也是无理数），并提及π是超越数的可能性
1841年	Rutherford计算了208个小数位，但并非全部是正确的	152位小数
1844年	Zacharias Dase及Strassnitzky	200位小数
1847年	Thomas Clausen	248位小数
1853年	Lehmann	261位小数
1853年	Rutherford	440位小数
1853年	William Shanks	527位小数
1855年	Richter	500位小数
1874年	William Shanks耗费15年计算了707位小数，可惜1946年D. F. Ferguson发现其结果非全对	527位小数
1882年	Lindemann证明π是超越数（林德曼-魏尔斯特拉斯定理）
1946年	D. F. Ferguson使用桌上计算器	620位小数
1947年		710位小数
1947年		808位小数
1949年	J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用计算机（ENIAC）计算π，以后的记录都用计算机来计算的	2,037位小数
1953年	Mahler证明π不是刘维尔数
1955年	J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith	3,089位小数
1961年		100,000位小数
1966年		250,000位小数
1967年		500,000位小数
1974年		1,000,000位小数
1983年	金田康正和Yoshiaki Tamura	16,000,000位小数
1992年	金田康正	2,180,000,000位小数
1995年	金田康正	> 6,000,000,000位小数
1996年	楚氏兄弟	> 8,000,000,000位小数
1997年	金田康正和高桥	>51,000,000,000位小数
1999年	金田康正和高桥	> 206,000,000,000位小数
2002年	金田康正的队伍	>1,241,100,000,000位小数
2009年	高桥大介^[4]	>2,576,980,370,000位小数

π的特性和相关公式

几何：

若圆的半径为r，则其圆周为C = 2πr

若圆的半径为r，则其面积为A =πr²

若椭圆的长、短两轴分别为a 和 b ，则其面积为A = πab

若球体的半径为 r，则其体积为 V = (4/3)πr³

若球体的半径为r，则其表面积为 A = 4πr²

角：180度相等于π弧度

环面的体积和表面积公式

$A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,$

$V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,$

R是管子的中心到画面的中心的距离， r是圆管的半径。

代数

π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由Johann Heinrich Lambert于1761年证明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更证明了π是超越数，即不可能是任何有理数多项式的根。

圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数。

数学分析

$\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$ (Leibniz定理)

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$ (Wallis乘积)

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$

$\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}$ (由欧拉证明，参见巴塞尔问题)

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (斯特林公式)

$e^{\pi i} + 1 = 0\;$ (欧拉公式)

π有个特别的连分数表示式：

$\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1}{3 + \frac{4}{5 + \frac{9}{7 + \frac{16}{9 + \frac{25}{11 + \frac{36}{13 + ...}}}}}}$

π本身的连分数表示式(简写)为[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分给出的首三个渐近分数

$3 + \frac{1}{7} = \frac{22}{7}$

$3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15}} = \frac{333}{106}$

$3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}} = \frac{355}{113}$

第一个和第三个渐近分数即为约率和密率的值。数学上可以证明，这样得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。

(另有12个表达式见于[2] )

数论

两个任意自然数是互质的概率是 $\frac{6}{\pi^2}$ 。

任取一个任意整数，该整数没有重复质因子的概率为 $\frac{6}{\pi^2}$ 。

一个任意整数平均可用 $\frac{\pi}{4}$ 个方法写成两个完全数之和。

概率论

取一枚长度为l的针，再取一张白纸在上面画上一些距离为2l的平行线。把针从一定高度释放，让其自由落体到纸面上。针与平行线相交的概率是圆周率的倒数（泊松针）。曾经有人以此方法来寻找π的值。

动态系统／遍历理论

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_i} = \frac{2}{\pi}$

对[0, 1]中几乎所有x₀，其中 x_i是对于r=4的逻辑图像迭代数列。

物理学

$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$ (海森堡测不准原理)

$R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik}$ (相对论的场方程)

统计学

$f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 \over 2\sigma^2}}$ }- （此为常态分配的机率密度函数）

尚待解决的问题

关于π未解决的问题包括

它是否是一个正规数，即π的十进制运算式是否包含所有的有限数列

？对于二进制运算式，答案是肯定的，这是Bailey及Crandall于2000年从Bailey-Borwein-Plouffe方程的存在而引申出来的。

0,...,9是否以完全随机的形态出现在π的十进制运算式中？若然，则对于非十进制运算式，亦应有类似特质。
究竟是否所有0,...,9都会无穷地在π的小数运算式中出现？
到底超级计算机计算出来的上亿位的圆周率是否正确？

圆周率的值

虽然圆周率已经被算出小数点后2,576,980,370,000个小数位，但因为实在太多了，所以一般教育教授的π值只取3.14（日本省略成3），超过3.14159265358979323846264338327之后的位数就较鲜为人知了。

文化

背诵π的位数

世界记录是100000位，日本人原口证于2006年10月3日背诵圆周率π至小数点后100000位。

普通话用谐音记忆的有“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐”，就是3.1415926535897932384626。

在英文，会使用英文字母的长度作为数字，例如“How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again.”就是3.1415926535897932384626433832795。

π在数学外的用途

在Google公司 2005年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是$14,159,265，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）
排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.1415926
3月14日为圆周率日

注释

^ 钱大昕的《十驾斋养新录》卷第十七首条〈圆径周率〉
^ 《周髀算经》注中，赵爽指出“圆径一而周三，方径一而匝四”。
^ ^3.0 ^3.1 《 $π$ 和e》，夏道行，商务印书馆，第10页，ISBN 962 07 2007 5
^ 筑波大学计算科学研究中心准教授，以超级计算机T2K筑波システム耗费73小时36分计算而得

外部连接

寻找π值的计划
百万圆周率 π的小数点后前1百万位
前1.2百万位元中的部分资料
将π前一万位元化作音乐旋律
SuperPI 计算π值的软件，计算机硬件玩家常用来测试计算机运算速度(日文)
计算圆周率
PiFast 个人计算机上最快的计算π值软件，是个人计算机计算π值纪录保持软件。
用大炮求圆周率：以蒙特卡罗算法，利用圆的面积求圆周率。

查 • 论 • 编几何术语

点	顶点 \| 交点 \| 中点 \| 角

直线和曲线	线段 \| 射线 \| 直线 \| 切线 \| 法线 \| 曲线 \| 圆锥曲线 \| 双曲线 \| 抛物线 \| 螺线 \| 边 \| 周界 \| 弦

平面图形	圆 \| 椭圆 \| 扇形 \| 弓形 \| 多边形 \| 三角形 \| 四边形 \| 五边形 \| 六边形 \| 梯形 \| 平行四边形 \| 菱形 \| 矩形 \| 正方形 \| 鹞形

立体图形	多面体 \| 正多面体 \| 长方体 \| 立方体 \| 圆柱体 \| 四面体 \| 平行六面体 \| 棱柱 \| 反棱柱 \| 棱锥 \| 圆锥 \| 圆台 \| 椭球 \| 球体 \| 球缺 \| 球冠 \| 二次曲面 \| 抛物面 \| 双曲面

图形关系	相似 \| 全等 \| 对称 \| 平行 \| 垂直 \| 相邻 \| 相交 \| 相切 \| 镜像 \| 旋转 \| 反演

三角形关系	相似三角形 \| 全等三角形

量	距离 \| 长度 \| 周长 \| 高度 \| 面积 \| 表面积 \| 体积 \| 角度

作图	尺子（直尺） \| 圆规 \| 尺规作图 \| 二刻尺作图

理论	定理 \| 公理 \| 定义 \| 证明

1个隐藏分类: 含有日语的条目

性

stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History

圆周率

目录

近似值