圆


圆 （正體）

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本文介绍的是几何图形。关于货币单位，详见“银圆”。
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日食时看到的情形，可以清晰看到一个圆形。圆在大自然中随处可见。

圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。根据定义，通常用圆规来画圆。

目录

历史

早在战国时代，墨子已经为圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思就是：圆就是一个到一点之距离为定长的点的轨迹。

数学

定义

欧几里德几何

在《几何原本》中，圆是由一条线构成的平面图形，使得平面上有一个点，这点到该图形上任一点所连之直线段长度相等。（几何原本中对圆的定义）

座标系

概念和特性

CirclesLines ZH.png

圆的中心点是圆的圆心（通常用O表示）。从圆心到圆上任何一点的距离被称为半径（通常用r，radius表示)。两倍的半径被称为直径（通常用d，diameter表示）。所有离圆心距离小于或等于半径的点组成一个圆盘：

k = \{X\in E\mid{}\overline{MX} <= r\}

圆的一周的长度被称为圆周(L)。圆周与半径的关系是：

L = 2πr

其中π是圆周率。

圆的面积与半径的关系是：

S = πr2

圆周的一部分被称为圆弧。圆周上任何两点相连的直线被称为弦。最长的弦会通过圆心，其长度等于直径。

Sehnentangentenwinkel.png

假如一条直线与圆相交仅有一个交点，这条直线是这个圆的切线。这个交点是切点。过切点和圆心的直线和切线垂直。

假如一条直线与圆相交有两个交点的话，这条直线是这个圆的割线。

由圆周上某两点连往圆心，组成的角度叫做圆心角。圆周上任意三点组成的角度叫圆周角。圆周上有三点A、B、C，圆心为M，那么：

角AMB=2×角ACB　　圆心角=2×圆周角

只要圆周角其中两点保持不变，圆周角不变，即是说角ACB=角ADB=角AEB……其中D、E都在圆周上。

一般化

在非欧几何中（比如在球面几何中）也有相应的圆的定义。

圆可以看作是一种特殊的椭圆，即交点重合，离心率等于0时的情况。参见椭圆。

三维的圆是球体。

在测度空间中，圆的定义仍旧指距离一定点等距（在该测度下）的点的集合，不过随着测度的不同，定义出来的圆的形状也可能大不相同。例如在出租车测度底下定义出来的圆，实际上的形状（在一般的观点中）会是一个正方形。

两个圆的关系

Two circles.png

两个不同大小的圆之间的可能关系如下：（其中的1，2，3：其中一圆在另一圆内）

  1. 两圆不相交（内含），互为同心圆
  2. 两圆不相交（内含）
  3. 两圆相交于一点（内切），有1条共同切线
  4. 两圆相交于一点（外切），有3条共同切线
  5. 两圆相交于两点，有2条共同切线
  6. 两圆不相交（外离），有4条共同切线

相关的立体图形

切面为圆的三维形状有：

关于圆的定理

圆和其他平面形状（特别是三角形）

当多边形的每条边固定，以有外接圆的图形最大（参见等周定理）。

圆的问题

人文

在文艺复兴时期，列奥纳多·达·芬奇曾将一个人画在圆内。

字源

“圆”字亦作“圜”、“员”，是形声字。《正字通》认为“圆”本来应该是“丸”，因读音相近而有了圆形的意思。

哲学意义

圆形被认为完美、完整的图形。古希腊人因“圆形是最完美的图形”这个概念，引伸了不少思想——毕达哥拉斯认为地球是圆的；柏拉图认为正圆是行星的轨道。古代中国人亦认为“天圆地方”，天是圆的。

圆形（圆）和正方形（方）经常被视为对立的概念。

纵使如此，古中国人亦认为圆是封闭的概念，因为在一个圆形里，是没有门或任何出口的。

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