古埃及分数

古埃及分数是不同的单位分数的和，就是分子为1，分母为各不相同的正整数。任何正有理数都能表达成这一个形式。

构造方法

古埃及分数的表达形式不是唯一的，还未找到一个算法总是给出最短的形式。

贪婪算法

参看贪婪算法。

贪婪算法：将一项分数分解成若干项单分子分数后的项数最少，称为第一种好算法；最大的分母数值最小，称为第二种好算法。例如： 2/7=1/4+1/28。共2项，是第一种好算法，比2/7=1/5+1/20+1/28的项数要少。又例如，5/121=1/33+1/121+1/363比5/121=1/25+1/759+1/208725的最大父母要小，所以是第二种好算法。

找出仅小于 $r = \frac{a}{b}$ 的最大单位分数。这个分数的分母的计算方法是：即用b除以a，舍去余数，再加1。（如果没有余数，则r已是单位分数。）
把r减去单位分数，以这个新的、更小的r重复步骤1。

例子：把 $\frac{19}{20}$ 转成单位分数。

$20 \div 19 = 1$ 和一个余数，所以第1个单位分数是 $\frac{1}{2}$ ；
$\frac{19}{20} - \frac{1}{2} = \frac{9}{20}$ ；
$20 \div 9 = 2$ ，所以第2个单位分数是 $\frac{1}{3}$ ；
$\frac{9}{20} - \frac{1}{3} = \frac{7}{60}$ ；
$60 \div 7 = 8$ ，所以第3个单位分数是 $\frac{1}{9}$ ；
$\frac{7}{60} - \frac{1}{9} = \frac{1}{180}$ 已是单位分数。

所以结果是：

$\frac{19}{20} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{180}$ 。

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特和斐波那契都提出过以上的方法。

Golomb算法

这个算法是基于贝祖等式的：当a,b互质， $a x - b y = 1$ 有无穷多对正整数解（x,y）。

选取最小的正整数解 $(m, n)$ 。取单位分数分母为 $b m$ ，重复步骤。

以 $\frac{7}{10}$ 为例：

$7 \times 3- 10 \times 2 = 1$ ，所以第1个单位分数是 $\frac{1}{30}$ ；
$2 \times 2 - 3 \times 1 = 1$ ，所以第2个单位分数是 $\frac{1}{6}$ ；
第3个单位分数是 $\frac{1}{2}$ 。

二进制

最基本的方法就是将分数写成二进制数，便能将该分数写成分母为二的幂的单位分数之和。

换个说法就是重复求最小的正整数 $n$ 使得 $\frac{x}{y}>\frac{1}{2^n}$ 。

这个方法的效率很低。

一个改善之道是选取正整数 $n$ 使得 $(2^n \times x) \bmod y < 2^{n+1}$ 。选取适当的正整数 $r, s$ （ $r < y$ ）使得 $2^n \times x=sy+r$ 。 $\frac{x}{y} = \frac{s}{2^n} + \frac{r}{2^n \times y}$ 。将 $\frac{s}{2^n} , \frac{r}{2^n}$ 写成二进制数。

例如： $\frac{18}{23}$ ：

$(4 \times 18) \bmod 23 < 8$ ， $4 \times 18 = 23 \times 3 + 3$
$\frac{18}{23} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4 \times 23}$
$\frac{3}{4} = 0.11 = 1/2+1/4$
$\frac{18}{23} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \times 23} + \frac{1}{4 \times 23}$

分拆

将一个分数表示成未必相异的单位分数之和。若有两个单位分数相同，可以用以下其中一种处理方式：

若它们的分母是双数，便用它们的和取代；若它们的分母是单数，设它们的分母为 $2 k - 1$ ，用 $\frac{1}{k}+\frac{1}{(2k-1)k}$ 取代。
设它们的分母为 $p$ ，用 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p+1}+\frac{1}{(p+1)p}$ 取代。

或是 $\frac{1}{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$ ←n可等于任意正整数

Engel展开式

参看Engel展开式。方法类同于贪心法

历史

数学史家有时论述代数的发展分为三个基本阶段：

文字代数：其问题以古代数学家所用的文字表述；
省文代数：简化问题中一些字词，以帮助理解；
符号代数：以符号代表运算符和算子，使更容易理解。

未知数以符号形式通常记为。我们从古埃及文稿得知，埃及祭司和书记采用文字代数的方式，以一个解为“堆”或“集”的字“阿哈”来表示未知数。

这是现存在伦敦的大英博物馆的莱因德数学纸草书（第二中间期）所载，其中一个阿哈问题的翻译：

“问题24：一个数量和它的 $\frac{1}{7}$ 加起来是19。这数量是什么？”

“假设是7。7和7的 $\frac{1}{7}$ 是8。8要乘上多少倍以得到19，7也要乘上这样多倍以得到所要的数量。”

以现在的符号形式， $x + \frac{x}{7} = \frac{8x}{7} = 19$ ，故此 ${x}= \frac{133}{8}$ 。检查： $\frac{133}{8} + \frac{133}{7 \times 8} = \frac{133}{8} + \frac{19}{8} = \frac{152}{8} = 19$ 。