二次函数

二次函数（正體）

$f(x) = x^2 - x - 2\,\!$

在数学中，二次函数（quadratic function）表示形为 $f(x)=ax^2+bx+c \,\!$ （ $a \ne 0 \,\!$ ）的多项式函数。二次函数的图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

二次函数表达式 $a x 2 + b x + c$ 的定义是一个二次多项式，因为 $x$ 的最高次数是2。

如果令二次函数的值等于零，则可得一个二次方程。该方程的解称为方程的根或函数的零点。

根

更多资料：二次方程

二次方程 $0=ax^2+bx+c\,\!$ （ $a \ne 0 \,\!$ ）的两个根为：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.$

设 $\Delta = b^2-4ac \,$ 为一元二次方程式的判别式，又记作 D。
如果 $\Delta > 0\,\!$ ，则方程有两个不相等的根，因为 $\sqrt{\Delta}$ 是正数。
如果 $\Delta = 0\,\!$ ，则方程有两个相等的根，因为 $\sqrt{\Delta}$ 是零。
如果 $\Delta < 0\,\!$ ，则方程没有实数根，因为 $\sqrt{\Delta}$ 不存在实数根，但有二共轭虚根。

设 $r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ 和 $r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ ，我们可以把 $a x^2 + b x + c \,\!$ 分解为 $a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$ 。

二次函数的形式

二次函数可以表示成以下三种形式：

$f(x) = a x^2 + b x + c \,\!$ 称为一般形式或多项式形式；
$f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$ 称为因子形式，其中 $r 1$ 和 $r 2$ 是二次方程的两个根；
$f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!$ 称为标准形式或顶点形式。

把一般形式转换成因子形式时，我们需要用求根公式来算出两个根 $r 1$ 和 $r 2$ 。把一般形式转换成标准形式时，我们需要用一种称为配方的方法。把因子形式转换成一般形式时，我们需要把两个因式相乘并展开。

图像

$f(x) = ax^2 ,\!$ $a=\{0.1,0.3,1,3\}\!$

$f(x) = x^2 + bx,\!$ $b=\{1,2,3,4\}\!$

$f(x) = x^2 + bx,\!$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}\!$

不管形式如何，二次函数的图像总是抛物线（如图所示）。

如果 $a > 0 \,\!$ ，则抛物线是开口朝上的。
如果 $a < 0 \,\!$ ，则抛物线是开口朝下的。

系数a控制了二次函数从顶点的增长（或下降）速度，a越大，函数就增长得越快。

系数b和a控制了抛物线的对称轴（以及顶点的x坐标）。

系数b控制了抛物线穿过y轴时的倾斜度。

系数c控制了抛物线的高度，它是抛物线与y轴的交点。

x截距

图像的x截距与二次函数的根是相等的。

顶点

抛物线的顶点是它转弯的地方，也称为驻点。如果二次函数是标准形式，则顶点为 $(h, k)\,\!$ 。用配方法，可以把一般形式 $f(x) = a x^2 + b x + c \,\!$ 化为：

$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} ,$

因此在一般形式中，抛物线的顶点是：

$\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right).$

如果二次函数是因子形式 $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!$ ，则两个根的平均数

$\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!$

就是顶点的x坐标，因此顶点位于

$\left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).\!$

$a < 0 \,\!$ 时，顶点也是最大值， $a > 0 \,\!$ 时，则是最小值。

经过顶点的竖直线

$x=h=-\frac{b}{2a}$

又称为抛物线的对称轴。

最大值和最小值

函数的最大值和最小值总是在顶点取得。以下的方法是用微积分来推导相同的事实，这种方法的好处是适用于更一般的函数。

设有函数 $f(x) = ax^2 + bx + c \,\!$ ，寻找它的最值时，我们必须先求出它的导数：

$f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\!$ $f'(x)=2ax+b \,\!$

然后，求出 $f'(x)\,\!$ 的根：

$2ax+b=0 \Rightarrow \,\!$ $2ax=-b \Rightarrow\,\!$ $x=-\frac{b}{2a}$

因此， $-\frac{b} {2a}$ 是 $f(x)\,\!$ 的 $x\,\!$ 值。现在，为了求出 $y\,\!$ ，我们把 $x = -\frac{b} {2a}$ 代入 $f(x)\,\!$ ：

$y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow$

$y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}$

所以，最大值或最小值的坐标为：

$\left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right).$

二次函数的平方根

二次函数的平方根的图像要么是椭圆，要么是双曲线。如果 $a>0\,\!$ ，则方程 $y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$ 描述了一条双曲线。该双曲线的轴由对应的抛物线 $y_p = a x^2 + b x + c \,\!$ 的最小值决定。如果最小值是负数，则双曲线的轴是水平的。如果是正数，则双曲线的轴是竖直的。如果 $a<0\,\!$ ，则方程 $y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$ 的图像要么是一个椭圆，要么什么也没有。如果对应的抛物线 $y_p = a x^2 + b x + c \,\!$ 的最大值是正数，则它的平方根描述了一个椭圆。如果是负数，则描述了一个空集。