不确定性原理


不确定性原理 （正體）

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量子力学
\Delta x\, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}
不确定性原理
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海森堡不确定性原理（英语：Heisenberg Uncertainty Principle。有时也被译成海森堡测不准原理。）是指在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置的不确定性 \Delta x\,\! 和动量的不确定性 \Delta p\,\! 是不可避免的：

\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}\,\! ；

其中 \hbar\,\! 是约化普朗克常数。

类似的不确定性也存在于能量和时间，角动量和角度等许多物理量之间：

\Delta A \Delta B \ge \left|\frac{\langle [A,B] \rangle}{2i}\right|\,\! 。

换句话说，A\,\! 的不确定性与 B\,\! 的不确定性的乘积至少是 A\,\! 与 B\,\! 对易算符的期望值除以 2i\,\! 所得到的除商的绝对值。

不确定性也是一种波的特性。在经典物理中波也有不确定性。比如波的频率和波到达的时间之间就有不确定性。要测量频率，就要等几个波峰的到达，但这样一来波到达的时间就没法被精确地测量了。

1927 年，德国物理学家海森堡首先提出了量子力学中的不确定性。

目录

历史

海森堡不确定性原理的纪念邮票

1925 年 6 月，维尔纳·海森堡发表了论文《Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations》，从而创立了矩阵力学[1]。旧量子论渐渐式微，现代量子力学正式开启。矩阵力学大胆地假设，粒子的量子运动并不明确。在原子里的电子并不是移动于明确的轨道，而是模糊不清，无法直接观察的轨域。其对于时间的傅里叶变换只涉及离散的频率。

海森堡在论文里提出，只有在实验里能够观测到的物理量才有物理意义，才可以用理论描述其物理行为，其它的都是无稽之谈。因此，他避开任何涉及粒子运动轨道的详细计算，例如，粒子随着时间而改变的运动位置。因为，这运动轨道是无法直接观测到的。替代地，他专注于研究电子跃迁时，所发射的光的离散频率和强度。他计算出代表位置与动量的无限矩阵。因电子跃迁而产生的发射光波的强度，能够正确地用这些矩阵来预测。

同年 6 月，海森堡的上司马克斯·玻恩，在阅读了海森堡交给他发表的论文后，发觉了位置与动量无限矩阵有一个很显著的性质，那就是，它们不互相对易，称为正则对易关系[2]：

[x,\,p] = xp - px= i \hbar\,\! 。

在那时，物理学家还没能很清楚地了解这重要的结果。因此，无法给予一个合理的物理诠释。

1926 年 5 月，海森堡被任聘为哥本哈根大学玻尔理论物理学院 (Bohr's Institute) 的讲师，帮尼尔斯·玻尔做研究。隔年，海森堡发现了不确定性原理，从而为后来知名为哥本哈根诠释奠定了的坚固的基础。海森堡证明，对易关系可以导引出不确定性，或者，使用玻尔的术语，互补性 (complementarity)[3]：

[x,\,p] = xp - px= i \hbar\,\! 。任意两个不对易的变量不能同时被测量出来；更精确地知道其中一个变量的同时，必定会更不精确地知道另外一个变量。

在他著名的论文[4] (1927) 里，海森堡建立了表达式

\Delta y\Delta p_y\approx h\,\! 。

这表达式表明了任何位置测量所造成的最小无法避免的动量不确定值。虽然他提出这表达式可以从对易关系导引出来，他并没有写出相关数学理论，也没有给予 \Delta x\,\! 和 \Delta p\,\! 精确的定义。他只估计了几个案例（高斯波包）的合理数值。在海森堡的芝加哥讲义里[5]。他又进一步改善了这关系式：

\Delta x\Delta p\gtrsim h\,\! 。(1)

于 1927 年E. H. Kennard 首先计算出现代不等式[6]：

\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}\,\! ；(2)

其中，\sigma_x\,\! 是位置标准差，\sigma_p\,\! 是动量标准差，\hbar\,\! 是约化普朗克常数。

1929 年，罗伯森研究出，怎样在一般状况下，从对易关系求出不确定关系式。

观察者效应

不确定性原理时常会被解释为：粒子位置的测量必然地扰乱了粒子的动量；反过来说也对，粒子动量的测量必然地扰乱了粒子的位置。换句话说，不确定性原理是一种观察者效应的显示。

这解释时常会引人产生一种错误的想法。它使人觉得，在概念上，这扰乱似乎是可以避免的；粒子的量子态可以同时拥有明确的位置和明确的动量，问题是我们所设计的最尖端实验仪器仍旧无法制备出这些量子态。在量子力学里，明确位置与明确动量的量子态并不存在。我们不能怪罪于实验仪器。所以，由于这方面的原因，我们最好称它为不确定性原理，而不是测不准原理。

海森堡并没有专注于量子力学的数学部分，他主要的目标是在建立一种事实：不确定性是宇宙的一种特性； 我们绝对无法，比量子力学所允许的，更精确地测量一个粒子的位置和动量。这事实的证明，海森堡的物理论点是以量子的存在为基础，而不是使用整个量子力学形式论。

海森堡这样做的主要原因是，在那时，量子力学尚未被物理学术界广泛的接受。不确定性原理是个相当诧异的结果。许多物理学家认为，明确位置与明确动量的量子态的不存在，是量子力学的一个瑕疵。海森堡试着表明这不是一个瑕疵，而是一个特色，宇宙的一个又深奥微妙，又令人惊讶的特色。为了要达到这目的，他不能使用量子力学形式论，因为他要辩护的正是量子力学形式论本身。

单狭缝衍射

数值计算出来的单狭缝衍射图案。一个平面波入射于一座有一条狭缝的不透明挡墙。狭缝的宽度是波长的 4 倍。很清楚地可以看到中心波束，零点，与反相位点。
单狭缝衍射抵达探测屏障的强度的图形与影像。
单狭缝实验简图。

我们可以用波粒二象性来讲述位置和动量之间的互补性。用平面波来描述粒子。假若，这平面波遇到一座有一条狭缝的不透明挡墙，平面波会穿过狭缝，在档墙后面的探测屏障，显示出干涉现象。从中心点（最大波强度之点）到第一个零点（零波强度之点）的夹角 \theta\,\! ，根据单狭缝衍射公式，可以表达为

\sin\theta= \lambda/w\,\! ；

其中，\lambda\,\! 是波长，w\,\! 是狭缝宽度。

\theta\,\! 是衍射现象的一种估量。狭缝越窄，衍射现象越宽阔，\theta\,\! 越大；狭缝越宽，衍射现象越窄缩，\theta\,\! 越小。

当粒子穿过狭缝之前，在 y 方向（垂直于粒子前进方向，x 方向）的动量 p_y\,\! 是零。穿过狭缝时，粒子的 p_y\,\! 遭到改变。p_y\,\! 可以由粒子抵达探测屏障的位置计算出来。p_y\,\! 的不确定性 \Delta p_y\,\! 大约是

\Delta p_y\approx p\sin\theta\approx\theta\approx p\lambda/w\,\!


当粒子穿过狭缝时，我们可以相当有信心的说，粒子的位置不确定性 \Delta y\,\! 是狭缝宽度：\Delta y\approx w\,\! 。

所以，

\Delta y\Delta p_y\approx\lambda p\,\! 。

从德布罗意假说，

\lambda=\frac{h}{p}\,\! ；

其中，h\,\! 是普朗克常数，p\,\! 是动量。

所以，

\Delta y\Delta p_y\approx h\,\! 。

海森堡显微镜实验

用来定位电子位置的海森堡伽马射线显微镜。波长为 \lambda\,\! 的入射伽马射线（以绿色表示），被电子散射后，进入显微镜的孔径角 \theta\,\! 。散射的伽马射线以红色表示。在经典光学里，分辨电子位置的不确定性是 \Delta x=\lambda/\theta\,\! 。
主条目：海森堡显微镜实验

为了辩解不确定性原理，海森堡设计了一个想像的伽马射线显微镜实验[5]。在这实验里，一个测量者朝着电子射出一粒光子，想要测量一个电子的位置和动量。

波长短的光子可以很精确地测量到电子位置；但是，这光子的动量很大，而且会因为被散射至随机方向，转移了一大部分不确定的动量给电子。波长很长的光子动量很小，这散射不会大大地改变电子的动量。可是，我们也只能大约地知道电子的位置。

根据瑞利判据，电子位置的不确定性 \Delta x\,\! 是

\Delta x\approx \frac{2f\lambda}{D}\,\! ；

其中，f\,\! 是显微镜的焦距，\lambda\,\! 是光子的波长，D\,\! 是孔径的直径。

假设，电子原本的位置是在显微镜的焦点，那么，

\frac{D}{2f}=\tan\theta\approx \theta\,\! ；

其中，\theta\,\! 是孔径角。

所以，

\Delta x\approx \frac{\lambda}{\theta}\,\! 。

由于动量守恒定律，光子的碰撞会改变电子的动量。根据康普顿散射理论，电子动量的不确定性 \Delta p\,\! 是

\Delta p\approx \frac{2h\theta}{\lambda}\,\! ；

其中，h\,\! 是普朗克常数。

所以，

\Delta x\Delta p\approx 2h\,\! 。

不论光子波长和孔径尺寸为何，位置测量的不确定性和动量测量的不确定性，其乘积必定大于或等于一个下界，普朗克常数的数量级。海森堡并没有给予不确定性原理一个精确界。他比较喜好将不确定性原理用为一个启发性的数量宣告，正确至小因子。

批评与反应

主条目：玻尔-爱因斯坦辩论

爱因斯坦认为，不确定性原理显示出，波函数不能够完全地描述一个粒子的量子行为；波函数只能描述一个系综的粒子几率性的量子行为。玻尔则主张，波函数能够完全地描述一个粒子的量子行为。从波函数求得的几率分布是基础的，是无法约化的。一个粒子只能拥有明确的位置或动量，不能同时拥有两者。这是不确定性原理的真谛[7]。就好像鱼与熊掌的不可兼得，一个粒子不能同时拥有明确的位置与明确的动量。两位物理大师的辩论，对于不确定性原理以及其所涉及的种种物理实际问题，延续了很多年。

爱因斯坦狭缝

单狭缝实验的固定隔版与其狭缝。


爱因斯坦提出了一个思想实验来挑战不确定性原理。爱因斯坦认为这个思想实验，称为爱因斯坦狭缝问题，能够同时测量明确的位置与动量，：

爱因斯坦狭缝问题的实验装置与单狭缝实验的装置类似。最大的不同就是只考虑一个粒子的量子行为。如右图，假设一片隔版的中间有一条狭缝。朝着这隔版的狭缝发射一个粒子。发射的方向垂直于隔版。粒子穿过了狭缝，再移动一段行程后，抵达探测屏障。假若不确定性原理是正确的，那么，这宽度为 w\,\! 的狭缝，在粒子通过的时候，给予了粒子的动量大约 \hbar/w\,\! 的不确定性。但是，我们可以测量隔版的反弹作用至任意精确度。根据动量守恒定律，粒子的动量等于隔版的反弹动量，取至任意精确度；而粒子位置的不确定性只有 w\,\! 。所以，不确定性原理不成立。

为了实现爱因斯坦的提议，玻尔设计出一个改良的实验装置，如图右。玻尔回应，隔版也是量子系统的一部分。假若要测量反弹作用的动量，同时保持不确定性小于或等于 \Delta P\,\! ，则必须知道，在粒子通过前后，隔版的动量，而且这动量的不确定性必须小于或等于 \Delta P\,\! 。这个要求造成了隔版位置的不确定性 \Delta X\approx \hbar/\Delta P\,\! 。这不确定性会转移成为狭缝位置的不确定性和粒子位置的不确定性。所以，不确定性原理是正确的。

爱因斯坦盒子

爱因斯坦又设计出一个思想实验，来挑战时间-能量不确定性原理， \Delta E\Delta t\ge \hbar/2\,\! 。这个实验与爱因斯坦狭缝实验类似，祇是在这里，粒子穿过的狭缝是时间。

试想一个装满了光子的盒子。有一扇百叶窗装在盒子的一边。百叶窗的控制器可以自动的开启百叶窗很短的一段时间 \Delta t\,\! ，让一粒光子发射出去，然后自动的关闭。为了要测量发射出去的光子的能量，爱因斯坦又建议，先称一称发射前盒子的重量，再称一称发射后盒子的重量。藉用狭义相对论的质能方程 E=mc^2\,\! ，可以计算出来失去的能量。由于，理论上，我们可以测量盒子的重量至任意精确度。因此，可以使 \Delta E\,\! 变的很微小。这样，会得到 \Delta E\Delta t< \hbar/2\,\! ，因而推翻时间-能量不确定性原理。

经过一天的长考，玻尔发现了爱因斯坦这篇巧妙论述的破绽。为了保证实验正确的运作，必须用弹簧将爱因斯坦盒子悬吊于一个引力场之中，在盒子的一边装备一个指针。盒子的支撑架固定了一根直尺。指针所指在直尺的数目，可以用来纪录盒子的位置。从位移数据，可以计算出盒子在光子发射前后的重量差。可是，位置的不确定性会造成重量的不确定性，以及能量的不确定性 \Delta E\,\!。

换另一方面。由于整个系统都处于一个引力场之中，根据等价原理，时钟的时针位置的不确定性会造成时间测量的不确定性 \Delta t\,\! 。仔细的分析这效应可以证明时间-能量不确定性原理是正确的。

EPR 吊诡

在爱因斯坦提出 EPR 吊诡思想实验以后，玻尔不得不修改他对不确定性原理的认识。于 1935 年，爱因斯坦、玻理斯·波多斯基、纳森·罗森共同发表了EPR 吊诡，分析两个相隔很远的粒子的量子纠缠现象。爱因斯坦认为，测量其中一个粒子 A，会同时改变另外一个粒子 B 的几率分布；但是，狭义相对论不允许信息的传播速度超过光速，测量一个粒子 A，不可能同时扰动另外一个粒子 B。这个吊诡使得玻尔修改了他对不确定性原理的认识：不确定性不是由直接的测量作用造成的[8]。

从这思想实验，爱因斯坦获得益愈深远的结论。他觉得对于物理实际的一个完备的描述，必须使用局域决定的数量来预测实验结果。因此，超过不确定性原理所能够允许的，这描述需要包含更多的信息。

1964 年，约翰·贝尔对爱因斯坦的假定提出质疑，表明这假定可以被严厉地检验。因为，这假定意示著某种不等式存在于几个不同实验的几率。依照贝尔的提示，实验者做了很多这方面的实验，结果确认了量子力学的预测，排除了局域隐变量（hidden variable）的假定。

虽然，我们仍旧可以假定，非局域隐变量给予了量子力学的预测。事实上，大卫·波姆就提出了这样一种表述。但是，对于大多数物理学家，这并不是一个令人满意的诠释。他们认为量子力学是正确的。因为经典直觉不能对应于物理实际，EPR 吊诡只是一个吊诡。EPR 吊诡的意义相依于到底采用哪一种诠释。哥本哈根诠释主张，测量这动作造成了瞬间的波函数坍缩。但是，这并不是瞬间的因果效应。测量这动作只影响我们定义物理系统的数量的能力，并没有影响整个物理系统。

波普尔批评

卡尔·波普尔严厉地批评海森堡不确定性原理：位置的测量扰动了动量。假设一个拥有明确动量的粒子，在通过一条狭缝以后，朝着原来的运动方向，衍射的波的几率幅并不等于零。这粒子的动量与先前的动量相等的几率，不论有多小，绝对不等于零。

波普尔认为这些稀有的事件是海森堡不确定性原理的反证。为了要维持这原理的正确性，他总结不确定性原理不能应用于单独粒子或单独测量；而必须应用于许多许多同样制作的粒子，称为系综。波普尔批评可以应用于几乎每一个几率理论，因为任何一个几率理论，都会要求许多的测量来确认或反驳。

波普尔批评并没有增加物理学家的困惑。波普尔推测的理由是，测量显示出某些已存在的关于粒子的信息，像粒子的动量。在量子力学的描述里，波函数是关于粒子的量子态的一个完备的描述。采用哥本哈根诠释，波普尔的例子不是一个反证，因为在粒子衍射过狭缝之后，在动量被测量之前，波函数已经改变了，动量的不确定性仍旧遵守不确定性原理。

导引

当两个算符 A\,\! 和 B\,\! 作用于一个函数 \psi(x)\,\! 时，它们不一定会对易。例如，设定 B\,\! 为乘以 x\,\! ，设定 A\,\! 为取随着 x\,\! 的导数。那么，

(AB - BA) \psi = \frac{d}{dx} ( x \psi) - x \frac{d}{dx} \psi = \psi\,\! 。

使用算符语言，可以表达为

{d\over dx} x - x {d\over dx} = 1\,\! 。

这例子很重要。因为，它很像量子力学的正则对易关系。特别地，位置算符 x\,\! 和动量算符 p\,\! 的正则对易关系是

[x,\,p]=(xp - px)= - i\hbar x\frac{d}{dx}+i\hbar\frac{d}{dx}x =i\hbar\,\! 。

在希尔伯特空间内，任意两个态矢量 |\alpha\rangle\,\! 和 |\beta\rangle\,\! ，必定满足柯西-施瓦茨不等式：

\langle\alpha|\alpha\rangle \langle\beta|\beta\rangle\ge|\langle\alpha|\beta\rangle|^2\,\! 。

限制算符 A\,\! 和 B\,\! 为厄米算符。它们所代表的都是可观察量。设定

\alpha=A\psi\,\! ，
\beta=B\psi\,\! 。

那么，

\langle A\psi|A\psi\rangle \langle B\psi|B\psi\rangle\ge |\langle A\psi|B\psi\rangle|^2 \,\! 。

一个复数的绝对值平方必定大于其虚数部分的绝对值平方：

|\langle A\psi|B\psi\rangle|^2 \ge |\mathfrak{im}(\langle A\psi|B\psi\rangle)|^2 =\frac{1}{4} |2\ \mathfrak{im}(\langle A\psi|B\psi\rangle)|^2 \,\! ；

其中，\mathfrak{im}\,\! 表示取右边项目的虚数。

一个复数的虚数部分等于这复数减去其共轭复数：

\mathfrak{im}(\langle A\psi|B\psi\rangle)=\frac{\langle A\psi|B\psi\rangle - \langle A\psi|B\psi\rangle^*}{2i}=\frac{\langle\psi|[A,\,B]|\psi\rangle}{2i}\,\! ，

从这三排公式，可以得到罗伯森-薛定谔关系式：

\langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \ge \frac{1}{4}|\langle [A,\,B]\rangle|^2 \,\!。

罗伯森-薛定谔不确定性关系式还不是海森堡不确定性关系式的形式。为了要求得海森堡不确定性关系式，执行以下替换：

A\to A - \langle A\rangle\,\! ，
B\to B - \langle B\rangle\,\! 。

那么，

\langle ( A - \langle A\rangle)^2 \rangle \langle (B - \langle B\rangle)^2 \rangle \ge \frac{1}{4}|\langle [A - \langle A\rangle,\,B - \langle B\rangle]\rangle|^2=\frac{1}{4}|\langle [A,\,B]\rangle|^2 \,\!。

定义标准偏差 \Delta X\,\! 为

\Delta X\equiv \sqrt{\langle(X - \langle X\rangle)^2\rangle}=\sqrt{\langle X^2\rangle - \langle X\rangle^2}\,\! 。

则可得到任意两个可观察量算符的不确定性原理：

\Delta A\Delta B\ge\frac{1}{2}|\langle [A,\,B]\rangle|\,\! 。

矩阵力学

在矩阵力学里，位置的不确定性与动量的不确定性的关系式为何？

位置矩阵 X\,\! 与动量矩阵 P\,\! 的对易算符永远不等于零，而是等于常数 i\hbar\,\! 乘以单位矩阵 I\,\! ：

[X,\,P]=i\hbar I\,\! 。

这意味着，X\,\! 与 P\,\! 无法共同拥有同样的本征态，无法同时被对角化。所以，一个量子态绝对无法同时给予 X\,\! 与 P\,\! 明确的本征值 \tilde{x}\,\! 与 \tilde{p}\,\! ；否则

XP=\tilde{x}\tilde{p}=\tilde{p}\tilde{x}=PX\,\! ，
[X,\,P]=0\,\! 。

给予任意量子态 |\psi\rangle\,\! ，位置和动量的期望值 x\,\! 和 p\,\! ：

x=\langle \psi|X|\psi\rangle = \sum_{ij} \psi^*_i X_{ij} \psi_j \,\! ，
p=\langle \psi|P|\psi\rangle= \sum_{ij} \psi^*_i P_{ij} \psi_j\,\! 。

由于位置和动量是可观察量， x\,\! 和 p\,\! 都是实数。当两个矩阵分别做单位矩阵 I\,\! 的不同实数倍数的移位，新得的两个矩阵的对易算符不变。

[X - xI,\, P - pI] = [X,\,P] = i\hbar\,\! 。

设定 \hat{X}\,\! 和 \hat{P}\,\! 分别为位置和动量与其期望值的偏差：

\hat{X}=X - xI \,\! ，
\hat{P}=P - pI\,\! 。

那么，它们的对易算符的期望值是：

\langle \psi| [ \hat X, \hat P ] |\psi\rangle = i \hbar \langle \psi|\psi \rangle = i \hbar\,\!

使用类似前面导引段落所述方法，设定

\alpha=\hat{X}\psi\,\! ，
\beta=\hat{P}\psi\,\! 。

那么，根据柯西-施瓦茨不等式

\langle \hat{X}\psi|\hat{X}\psi\rangle \langle\hat{P}\psi|\hat{P}\psi\rangle\ge |\langle \hat{X}\psi|\hat{P}\psi\rangle|^2\,\! 。

注意到 (\Delta X)^2=\langle\psi|\hat{X}^2|\psi\rangle\,\! 、(\Delta P)^2=\langle\psi|\hat{P}^2|\psi\rangle\,\! ，可以得到

(\Delta X)^2(\Delta P)^2 \ge |\langle\hat{X}\psi|\hat{P}\psi\rangle|^2 \,\! ，

或者，

\Delta X\Delta P \ge |\langle\hat{X}\psi|\hat{P}\psi\rangle|= |\langle\psi|\hat{X}\hat{P}|\psi\rangle|\,\! 。

一个复数的绝对值必定大于其虚数部分的绝对值：

|\langle\psi|\hat{X}\hat{P}|\psi\rangle|\ge|\langle\psi|\mathfrak{im}(\hat X \hat P ) |\psi\rangle|\,\! 。

而虚数部分是

\mathfrak{im}(\hat{X}\hat{P})=\frac{\hat{X}\hat{P} - \hat{P}\hat{X}}{2i}=\frac{[\hat{X},\,\hat{P}]}{2i}=\frac{\hbar}{2}\,\! 。

这样，可以得到位置和动量的不确定关系式：

\Delta X\Delta P \ge \frac{\hbar}{2}\,\! 。

假若，将实数部分也包括在内，则会增添一个项目于不确定性关系式里。这额外项目对于位置和动量的不确定性并不太有用。因为，对于高斯波包，量子谐振子的基态，它的期望值是零。但是，这额外项目可以用来给予自旋算符（spin operator）一个下界。

波动力学

在薛定谔的波动力学里，波函数描述粒子的量子行为。在某个位置，波函数绝对值的平方是粒子处于那位置的几率；几率越高，则粒子越常处于那位置。动量则与波函数的波数有关。

区域性波包

一个区域性的波包必定没有很确定的波数。假设一个波包的尺寸大约为 L\,\! ．那么，通过点数波包的周期数 N\,\! ，我们可以知道其波数 k\,\! ：

k=2\pi N/L\,\! 。

假若，点数 N\,\! 的准确度为 \Delta N=1\,\! ，那么，波数的不确定性是

\Delta k=2\pi /L\,\! 。

从德布罗意假说，我们知道 P=\hbar k\,\! 。因此，动量的不确定性是

\Delta P=\hbar \Delta k=\frac{h}{L}\,\! 。

由于粒子位置的不确定性是 \Delta X\approx L\,\! ，所以，不确定性原理成立：

\Delta P \Delta X \approx h\,\! 。

高斯波包

高斯波函数的动量与位置不确定性关系式的计算，是一个很有启发性的练习。设定一个粒子的波函数 \psi(x)\,\! 是高斯函数：

\psi(x) =\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4} e^{- {Ax^2 / 2}}\,\! 。

由于对称性，这粒子的位置期望值 \langle x\rangle\,\! 等于零。经过查阅积分手册，位置标准偏差 \sigma_x\,\! 是

\sigma_x^2=\langle x^2 \rangle =\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/2} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{ - A x^2} dx=\frac{1}{2A}\,\! 。

接下来，傅里叶转换高斯函数 \psi(x)\,\! 至波数空间的波函数 \phi(k)\,\! ：

\begin{align}\phi(k) & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4} e^{- {A\over 2}x^2}e^{ - ikx} dx \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ - {A\over 2}(x + ik/A)^2 - {k^2/2A} } dx \\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}e^{-{k^2/2A}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{- {A\over 2}(x+ik/A)^2} dx \\ \end{align}\,\! 。

为了要除去最右边的积分对于波数 k\,\! 的相依，做连续变量替换，x\rightarrow x - ik/A \,\! 。那么，

\phi(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{A}{\pi}\right)^{1/4}e^{-{k^2/2A}} \int_{-\infty + ik/A}^{\infty + ik/A} e^{- {A\over 2}x^2} dx \,\! 。

由于这复平面的积分路径的改变并没有经过任何奇异点，得到的积分不相依于 k\,\! 。查阅积分手册，可以得到波数空间的波函数

\phi(k) =\left(\frac{1}{A\pi}\right)^{1/4}e^{- k^2/2A}\,\! 。

由于对称性，波数期望值 \langle k\rangle\,\! 等于零。经过查阅积分手册，波数标准偏差 \sigma_k\,\! 是

\sigma_k^2=\left(\frac{1}{A\pi}\right)^{1/2} \int_{ - \infty}^{\infty} k^2 e^{ - k^2/A} dk=\frac{A}{2}\,\! 。

根据德布罗意假说，p=\hbar k\,\! 。所以，

\sigma_p^2=\frac{A\hbar^2}{2}\,\! 。

因此，可以得到位置和动量的不确定性关系式：

\sigma_x \sigma_p = \sqrt{1\over 2A}\sqrt{ A\hbar^2\over 2} =\frac{\hbar}{2}\,\! 。

特别注意，由于波函数是高斯函数，这关系式很紧密，是个等号关系式。

罗伯森-薛定谔关系式

给予量子态 \psi\,\! ，任意两个厄米算符 A\,\! 和 B\,\! ，其对应的测量的标准偏差分别为 \sigma_A\,\! 和 \sigma_B\,\! 。那么，

\sigma_A^2 \, \sigma_A^2 \geq \frac{1}{4}\left|\left\langle\left[A,\,B\right]\right\rangle\right|^2 +{1\over 4} \left|\left\langle\left\{ A - \langle A\rangle,\,B - \langle B\rangle \right\} \right\rangle\right|^2\,\! ；

其中，\{\alpha,\,\beta\}=\alpha\beta+\beta\alpha\,\! 是反对易算符。

称这关系式为罗伯森-薛定谔关系式。海森堡不确定性原理是它的一个特别案例。

其它的不确定性原则

罗伯森-薛定谔关系式给予了两个不相容可观察量的不确定性关系式：

  • 处于一个一维位势，一个粒子的能量与位置的不确定性关系式为
\Delta E \Delta x \geq {\hbar\over 2m} \left|\left\langle p_{x}\right\rangle\right| \,\!
  • 角动量算符的两个互相垂直的分量算符的不确定性关系式为
\Delta J_i \Delta J_j \geq \frac{\hbar}{2} \left|\left\langle J_k\right\rangle\right|\,\!；
其中，i\neq j\neq k\,\! ，J_i\,\! 标记沿着x_i\,\!-轴的角动量。
\Delta N \Delta \phi \geq 1\,\! 。

能量-时间不确定性原理

很多早期的量子力学先驱，包括玻尔在内，认为能量-时间不确定性关系式成立：

\Delta E \Delta t \gtrapprox \frac{\hbar}{2} \,\! 。

可是，他们并不清楚，\Delta t\,\! 到底是什么？时间 t\,\! 不是一个属于粒子的算符，而是一个描述系统演化的参数。爱因斯坦和玻尔很明白这关系式的启发性意义：一个只能暂时存在的量子态，不能拥有明确的能量。为了要拥有明确的能量，量子态的频率必须很准确，这连带地要求量子态持续很多周期。

例如，在光谱学里，激发态（excited state）的寿命是有限的。根据能量-时间不确定性原理，激发态没有明确的能量。每次衰变所释放的能量都会稍微不同。发射出的光子的能量，其峰值是量子态的理论能量，可是，其分布的峰宽 是有限的，称为自然线宽（spectral linewidth）。 衰变快的量子态有线宽比较宽阔；而衰变慢的量子态线宽比较狭窄。

衰变快的量子态的线宽，因为比较宽阔，不确定性比较大。为了要得到清晰的能量，实验者甚至会使用微波空腔（microwave cavity）来减缓衰变率[10]（decay rate）。这线宽效应，使得衰变快的粒子的测量静止质量工作，也变的很困难。粒子衰变越快，它的质量的测量越不确定。

能量-时间不确定性原理还有一个时常会遇到的错误解释：假若，一个量子系统的能量测量，准确度是 \Delta E\,\! ，那么，需要的测量时间是 \Delta t > h/\Delta E\,\! 。这句话的错误为，\Delta t\,\! 是系统不受到扰动的时间间隔；而不是实验仪器开启关闭的时间间隔。

1945 年，Leonid Mandelshtam 和伊戈尔·塔姆共同研究出一种能量-时间不确定性原理的表述[11]。思考一个量子系统的相依于时间的量子态 |\psi\rangle\,\! ，表示其可观察量的算符为 B\,\! 。设定 \Delta t=\cfrac{\Delta B}{\left|\frac{d}{dt}\langle B \rangle\right|}\,\! 。那么，能量-时间不确定性关系式成立：

\Delta E \Delta t\ge \frac{\hbar}{2} \,\! ；

其中，\Delta E\,\! 是能量算符作用于 |\psi\rangle\,\! 的标准偏差，而 \Delta t\,\! 是时间间隔，期望值 \langle B\rangle\,\! 减少或增加一个标准偏差 \Delta B\,\! 所需的时间间隔。

导引

根据埃伦费斯特定理，

\frac{d}{dt}\langle B\rangle = \frac{i}{\hbar}\langle [H,\, B]\rangle + \left\langle \frac{\partial B}{\partial t}\right\rangle\,\! 。

其中，t\,\! 是时间，H\,\! 是哈密顿算符。

一般而言，算符不显性地相依于时间。所以，稍加编排，取绝对值，可以得到

|\langle [H,\, B]\rangle| =\hbar\left|\frac{d}{dt}\langle B\rangle\right|\,\! 。

不确定性原理阐明，对于任意两个可观察量算符 H\,\! 和 B\,\! ，

\Delta H\Delta B\ge \frac{1}{2}|\langle [H,\,B]\rangle|\,\! 。

所以，

\Delta H\Delta B\ge \frac{\hbar}{2}\left|\frac{d}{dt}\langle B\rangle\right|\,\! 。

对于量子态 |\psi\rangle\,\! ，哈密顿算符与能量 E\,\! 的关系是

H|\psi\rangle=E|\psi\rangle\,\! 。

设定\Delta t=\frac{\Delta B}{\left|\frac{d}{dt}\langle B\rangle\right|}\,\! 。那么，能量-时间不确定性关系式成立：

\Delta E\Delta t\ge \frac{\hbar}{2}\,\! 。

参阅

参考文献

  1. ^ W. Heisenberg, Über quantentheoretishe Umdeutung kinematisher und mechanischer Beziehungen, Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925 (received July 29, 1925). [English translation in: B. L. van der Waerden, editor, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (English title: "Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations").]
  2. ^ 玻恩, 马克斯（1954年12月11日）．The statistical interpretation of quantum mechanics．诺贝尔奖颁奖典礼演奖．
  3. ^ 玻尔, 尼尔斯, Atomic Physics andHuman Knowledge, at pp. 38
  4. ^ W. Heisenberg: Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. In: Zeitschrift für Physik. 43 1927, S. 172–198.
  5. ^ 5.0 5.1 W. Heisenberg (1930), Physikalische Prinzipien der Quantentheorie (Leipzig: Hirzel)。 English translation The Physical Principles of Quantum Theory (Chicago: University of Chicago Press, 1930).
  6. ^ E. H. Kennard, Zeitschrift für Physik 44, (1927) 326
  7. ^ Norton, John (1986), "Thought Experiments in Einstein's Work", in Horowitz, Tamara & Gerald Massey, THOUGHT EXPERIMENTS IN SCIENCE AND PHILOSOPHY, University of Pittsburgh: Rowman and Littlefield
  8. ^ Isaacson, Walter（2008年5月13日）．Einstein: His Life and Universe．New York：Simon & Schuster，pp. 452．ISBN 978-0743264730． 
  9. ^ Anderson, P.W. (1964), "Special Effects in Superconductivity", in Caianiello, E.R., Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2, New York: Academic Press
  10. ^ Gabrielse, Gerald; H. Dehmelt（1985年）．Observation of Inhibited Spontaneous Emission．Physical Review Letters，55：67–70．doi:10.1103/PhysRevLett.55.67． 
  11. ^ L. I. Mandelshtam, I. E. Tamm, The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics, 1945

外部链接

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