Γ函数

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微积分学
微积分基础函数数列级数初等函数极限无穷小量收敛数列收敛性夹挤定理连续一致连续间断点一元微分导数不定积分高阶导数介值定理中值定理泰勒公式求导法则乘法定则除法定则倒数定则链式法则洛必达法则导数列表导数的函数应用单调性极值驻点拐点凹凸性曲率一元积分积分的定义黎曼积分达布积分勒贝格积分积分表求积分的技巧换元积分法分部积分法三角换元法降次积分法部分分式积分法定积分牛顿-莱布尼茨公式广义积分判别法柯西判别法阿贝尔判别法狄里克雷判别法主值柯西主值 β函数 Γ函数数值积分牛顿-寇次公式辛普森积分法多元微积分多元函数微分多元函数偏导数隐函数全微分方向导数梯度泰勒公式拉格朗日乘数多元函数积分多重积分广义多重积分路径积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式散度和旋度微分方程常微分方程分离变数法积分因子欧拉方法柯西-欧拉方程伯努利微分方程克莱罗方程全微分方程线性微分方程差分方程拉普拉斯变换法偏微分方程拉普拉斯方程微积分的应用微积分的几何应用平面图形的面积平面曲线的切线和弧长平面曲线的曲率旋转体的体积旋转曲面的面积曲面的切平面和法线空间曲线的切线和法平面微积分的物理应用运动的位移、加速度力所做的功物质的质量静力矩、惯性矩和重心微积分的经济应用边际弹性、交叉弹性收益流的现值和将来值成本分析、净资产分析

$\Gamma \,$ 函数，也叫做伽玛函数（Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数z，伽玛函数定义为:

$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{e^t} \,{\rm{d}}t$

此定义可以用解释开拓原理拓展到整个复数域上，非正整数除外。

如果n为正整数，则伽玛函数定义为:

Γ(n) = (n - 1)!

，

这显示了它与阶乘函数的联系。可见，伽玛函数将n拓展到了实数与复数域上。

在概率论中常见此函数，在组合数学中也常见。

定义

$\Gamma \,$ 函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：

$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t}\rm{d}t$

对复数 $z\,$ ，我们要求 $Re(z) > 0$ 。

Γ函数还可以通过对 $e^{-t}\,$ 做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： $\Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\!}\frac{1}{n+z}$

这样定义的Γ函数在全平面除了 $z=0,-1,-2,\ldots$ 以外的地方解析。

Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示：

$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} \left\{\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^z \right\}$

这样定义的Γ函数在全平面解析

无穷乘积

$\Gamma\,$ 函数可以用无穷乘积表示：

$\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{\frac{z}{n}}$

其中 $\gamma\,$ 是欧拉-马歇罗尼常数。

Gamma积分

$1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x$

$\Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} {\rm{d}}x$

递推公式

$\Gamma \,$ 函数的递推公式为： $Γ(x + 1) = x Γ(x)$ ，

对于正整数 $n\,$ ，有

$Γ(n + 1) = n!$ ，

可以说 $\Gamma \,$ 函数是阶乘的推广。

递推公式的推导

$\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1} dx = \int_0^\infty e^{-x} x ^n {\rm{d}}x$

我们用分部积分法来计算这个积分：

$\int_0^\infty e^{-x} x ^n dx = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x$

当 $x=0 \,$ 时， $\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0$ 。当 $x \,$ 趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{e^x} = 0$ .

因此第一项 $\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty$ 变成了零，所以：

$\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{e^x} {\rm{d}}x$

等式的右面正好是 $n \Gamma(n)\,$ 。因此，递推公式为：

${\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,$ 。

重要性质

Γ函数在实轴上的函数图形

当 $z\to 0^+$ 时， $\Gamma(z)\to+\infty$
欧拉反射公式：

$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin{\pi z}} \quad (0<\mathrm{Re}(z)<1)$

由此可知当 $\ z=\frac{1}{2}$ 时， $\Gamma(\frac12)=\sqrt{\pi}$ 。

乘法定理：

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)$ 。

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{\frac{1}{2} - mz} \; \Gamma(mz)$ 。

补充：

$\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!\sqrt{\pi}}{n!4^n}$ 此式可用来协助计算t分布机率密度函数、卡方分布机率密度函数、 $F \,$ 分布机率密度函数等的累计机率。

特殊值

$\begin{array}{lll} \Gamma(-\frac{3}{2}) &= \frac {4}{3}\sqrt{\pi}&\approx 2.363 \\ \Gamma(-\frac{1}{2}) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.545 \\ \Gamma(\frac{1}{2}) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772 \\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\ \Gamma(\frac{3}{2}) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886 \\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\ \Gamma(\frac{5}{2}) &= \frac {3}{4}\sqrt{\pi} &\approx 1.329 \\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\ \Gamma(\frac{7}{2}) &= \frac {15} {8}\sqrt{\pi} &\approx 3.323 \\ \Gamma(\frac{9}{2}) &= \frac {105} {16}\sqrt{\pi} &\approx 11.6305 \\ \end{array}$