集合
集合（或簡稱集）是基本的數學概念，它是集合論的研究對象。最簡單的說法，即是在最原始的集合論─樸素集合論─中的定義，集合就是「一堆東西」。集合裡的「東西」，叫作元素。若然 x 是集合 A 的元素，記作 x ∈ A。
集合是現代數學中一個重要的基本概念。集合論的基本理論直到十九世紀末才被創立，現在已經是數學教育中一個普遍存在的部分，在小學時就開始學習了。這裡對被數學家們稱為「直觀的」或「樸素的」集合論進行一個簡短而基本的介紹；更詳細的分析可見樸素集合論。對集合進行嚴格的公理推導可見公理化集合論。
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導言
定義
非正式的，一個集合就是將幾個對象適當歸類而作為一個整體。一般來說，集合為具有某種屬性的事物的全體，或是一些確定對象的匯合。構成集合的事物或對象稱作元素或成員。集合的元素可以是任何東西：數字，人，字母，別的集合，等等。
符號
集合通常表示為大寫字母 A， B， C……。而元素通常表示為小寫字母a,b,c……。元素a屬於集合A,記作a∈A。假如元素a不屬於A，則記作a∉A。
如果兩個集合 A 和 B 它們各自所包含的元素完全一樣，則二者相等，寫作 A = B。
集合的特性
無序性：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。
- 集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。
互異性：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。
- 有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。
確定性：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。
集合的表示
- 集合可以用文字或數學符號描述，稱為描述法，比如：
- A = 大於零的前三個自然數
- B = 紅色、白色、藍色和綠色
- 集合的另一種表示方法是在大括號中列出其元素，稱為列舉法，比如：
- C = {1, 2, 3}
- D = {紅色，白色，藍色，綠色}
儘管兩個集合有不同的表示，它們仍可能是相同的。比如：上述集合中，A = C 而 B = D，因為它們正好有相同的元素。
元素列出的順序不同，或者元素列表中有重複，都沒有關係。比如：這三個集合 {2, 4}，{4, 2} 和 {2, 2, 4, 2} 是相同的，同樣因為它們有相同的元素。
- 集合在不嚴格的意義下也可以通過草圖來表示，更多信息，請見文氏圖。
集合的元素個數
上述每一個集合都有確定的元素個數；比如：集合 A 有三個元素，而集合 B 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數。
集合可以沒有元素。這樣的集合叫做空集，用符號 
表示。比如：在2004年，集合 A 是所有住在月球上的人，它沒有元素，則 A = 。就像數字零，看上去微不足道，而在數學上，空集非常重要。更多信息請看空集。
如果集合含有有限個元素，那麼這個集合可以稱為有限集。
集合也可以有無窮多個元素。比如：自然數的集合是無窮大的。關於無窮大和集合的大小的更多信息請見集合的勢。
集合間的關係
子集與包含關係
-
主條目：子集
定義
集合A，B，若∀a∈A，有a∈B；A⊆B。則稱A是B的子集，亦稱A包含於B，或B包含A，記作A⊆B。
若A⊆B，且A≠B，則稱A是B的真子集，亦稱A真包含於B，或B真包含A，記作A⊂B。
基本性質
- 包含關係「⊆」是集合間的一個非嚴格偏序關係，因為它有如下性質：
- 自反性：∀集合S，S⊆S；（任何集合都是其本身的子集）
- 反對稱性：A⊆B且B⊆A ⇔ A=B；（這是證明兩集合相等的常用手段之一）
- 傳遞性：A⊆B且B⊆C ⇒ A⊆C；
- 真包含關係「⊂」是集合間的一個嚴格偏序關係，因為它有如下性質：
- 反自反性：∀集合S，S⊂S都不成立；
- 非對稱性：A⊂B ⇒ B⊂A不成立；反之亦然；
- 傳遞性：A⊂B且B⊂C ⇒ A⊂C；
- 顯然，包含關係，真包含關係定義了集合間的偏序關係。而Ø是這個偏序關係的最小元素，即：∀集合S，ØS；且若S≠Ø，則ØS，（空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）
舉例
-
- 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。
- 所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。
- {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}
- {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
集合的運算
並
-
主條目：聯集
兩個集合可以相"加"。A和B的聯集是將A和B的元素放到一起構成的新集合。
定義
給定集合A，B，定義運算∪如下：A∪B = {e|e∈A 或 e∈B}。A∪B稱為A和B的聯集。
示例
-
- {1, 2} ∪ {紅色, 白色} = {1, 2, 紅色, 白色}
- {1, 2, 綠色} ∪ {紅色, 白色, 綠色} = {1, 2, 紅色, 白色, 綠色}
- {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}
基本性質
作為集合間的二元運算，∪運算具有以下性質。
交
-
主條目：交集
一個新的集合也可以通過兩個集合"共"有的元素來構造。A 和 B 的交集，寫作 A ∩ B，是既屬於 A 的、又屬於 B 的所有元素組成的集合。
若 A ∩ B = ，則 A 和 B 稱作不相交。
定義
給定集合A，B，定義運算∩如下：A∩B = {e|e∈A 且 e∈B}。A∩B稱為A和B的交集。
基本性質
作為集合間的二元運算，∩運算具有以下性質。
其它性質還有：
- A⊆B ⇒ A∩B = A
示例
-
- {1, 2} ∩ {紅色, 白色} =
- {1, 2, 綠色} ∩ {紅色, 白色, 綠色} = {綠色}
- {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}
- {1, 2} ∩ {紅色, 白色} =
差
-
主條目：補集
兩個集合也可以相"減"。A 在 B 中的相對補集，寫作 B − A，是屬於 B 的、但不屬於 A 的所有元素組成的集合。
在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集 U 的子集。這樣， U − A 稱作 A 的絕對補集，或簡稱補集（餘集），寫作 A′或CUA。
補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作差集。
定義
給定集合A，B，定義運算-如下：A - B = {e|e∈A 且 e
B}。A - B稱為B對於A的差集，相對補集或相對余集。
在上下文確定了全集U時，對於U的某個子集A，一般稱U - A為A（對於U）的補集或余集，通常記為A'或
，也有記為CUA的。
基本性質
作為集合間的二元運算，- 運算有如下基本性質：
示例
-
- {1, 2} − {紅色, 白色} = {1, 2}
- {1, 2, 綠色} − {紅色, 白色, 綠色} = {1, 2}
- {1, 2} − {1, 2} =
- 若 U 是整數集，則奇數的補集是偶數
對稱差
-
主條目：對稱差
定義
給定集合A，B，定義對稱差運算△如下：A△B = (A-B)∪(B-A)。
基本性質
作為集合間的二元運算，△運算具有如下基本性質：
- 交換律：A△B = B△A；
- 結合律：(A△B)△C = A△(B△C)；
- 冪么律：A△A = ；
- 么元：∀集合A，A△ = A；（是△運算的么元）。
- 逆元：由冪么律知，任何集合是它自己在△運算下的逆元。
集合的其它名稱
在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：
- 族、系 通常指它的元素也是一些集合。
公理集合論
把集合看作「一堆東西」會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論，數學家提出公理化集合論。在公理集合論中，集合是一個不加定義的概念。
類
在更深層的公理化數學中，集合僅僅是一種特殊的類，是「良性類」，是能夠成為其它類的元素的類。
類區分為兩種：一種是可以順利進行類運算的「良性類」，我們把這種「良性類」稱為集合；另一種是要限制運算的「本性類」，對於本性類，類運算是並不都能進行的。
定義 類A如果滿足條件「
」，則稱類A為一個集合(簡稱為集)，記為Set(A)。否則稱為本性類。
這說明，一個集合可以作為其它類的元素，但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為「本性類是最高層次的類」。
引用
- Dauben, Joseph W., Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
- Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6.
- Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4.
參見
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