取樣定理

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SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；台灣：空間多工； 當前語言下顯示→空間多工
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；台灣：波長分波多工； 當前語言下顯示→波長分波多工
GSM：台灣：全球行動通訊系統；大陆：全球移动通信系统； 當前語言下顯示→全球行動通訊系統
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USB TV Tuner：香港：USB手指；台灣：USB電視棒； 當前語言下顯示→USB電視棒
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取樣定理，又稱香農取樣定理，奈奎斯特取樣定理，是資訊理論，特別是通訊與訊號處理學科中的一個重要基本結論.E. T. Whittaker(1915年發表的統計理論),克勞德·香農與Harry Nyquist都對它作出了重要貢獻。另外,V. A. Kotelnikov 也對這個定理做了重要貢獻。

採樣是將一個訊號（即時間或空間上的連續函數）轉換成一個數值序列（即時間或空間上的離散函數）。取樣定理指出，如果訊號是帶限的，並且採樣頻率高於訊號頻寬的一倍，那麼，原來的連續訊號可以從採樣樣本中完全重建出來。

帶限訊號轉換的快慢受到它的最高頻率分量的限制，也就是說它的離散時刻採樣表現訊號細節的能力是有限的。取樣定理是指，如果訊號頻寬小於採樣頻率（即奈奎斯特頻率的二分之一），那麼此時這些離散的採樣點能夠完全表示原訊號。高於或處於奈奎斯特頻率的頻率分量會導致混疊現象。大多數應用都要求避免混疊，混疊問題的嚴重程度與這些混疊頻率分量的相對強度有關。

採樣簡介

從訊號處理的角度來看，此取樣定理描述了兩個過程：其一是採樣，這一過程將連續時間訊號轉換為離散時間訊號；其二是訊號的重建，這一過程離散訊號還原成連續訊號。

連續訊號在時間（或空間）上以某種方式變化著，而採樣過程則是在時間（或空間）上，以T為單位間隔來測量連續訊號的值。T稱為採樣間隔。在實際中，如果訊號是時間的函數，通常他們的採樣間隔都很小，一般在毫秒、微秒的量級。採樣過程產生一系列的數位，稱為樣本。樣本代表了原來地訊號。每一個樣本都對應著測量這一樣本的特定時間點，而採樣間隔的倒數，1/T即為採樣頻率，f_s，其單位為樣本/秒，即赫茲(hertz)。

訊號的重建是對樣本進行插值的過程，即，從離散的樣本x[n]中，用數學的方法確定連續訊號x(t)。

從取樣定理中，我們可以得出以下結論：

如果已知訊號的最高頻率f_H，取樣定理給出了保證完全重建訊號的最低採樣頻率。這一最低採樣頻率稱為臨界頻率或奈奎斯特頻率，通常表示為f_N

相反，如果已知採樣頻率，取樣定理給出了保證完全重建訊號所允許的最高訊號頻率。

以上兩種情況都說明，被採樣的訊號必須是帶限的，即訊號中高於某一給定值的頻率成分必須是零，或至少非常接近於零，這樣在重建訊號中這些頻率成分的影響可忽略不計。在第一種情況下，被採樣訊號的頻率成分已知，比如聲音訊號，由人類發出的聲音訊號中，頻率超過5 kHz的成分通常非常小，因此以10 kHz的頻率來採樣這樣的音訊訊號就足夠了。在第二種情況下，我們得假設訊號中頻率高於採樣頻率一半的頻率成分可忽略不計。這通常是用一個低通濾波器來實現的。

混疊

thumb某一個被取樣訊號頻譜 (藍色) 和取樣訊號頻譜 (綠) 彼此間無交疊 "brick-wall" 低通濾波器可移去因取樣所產生的鏡像頻率，只留下被取樣訊號, 藉由此做法可還原出原始的訊號(也就是取樣前的原始訊號).

如果不能滿足上述採樣條件，採樣後訊號的頻率就會重疊，即高於採樣頻率一半的頻率成分將被重建成低於採樣頻率一半的訊號。這種頻譜的重疊導致的失真稱為混疊，而重建出來的訊號稱為原訊號的混疊替身，因為這兩個訊號有同樣的樣本值。

一個頻率正好是採樣頻率一半的弦波訊號，通常會混疊成另一相同頻率的波弦訊號，但它的相位和振幅改變了

以下兩種措施可避免混疊的發生：

提高採樣頻率，使之達到最高訊號頻率的兩倍以上；
引入低通濾波器或提高低通濾波器的參數；該低通濾波器通常稱為抗混疊濾波器

抗混疊濾波器可限制訊號的頻寬，使之滿足取樣定理的條件。從理論上來說，這是可行的，但是在實際情況中是不可能做到的。因為濾波器不可能完全濾除奈奎斯特頻率之上的訊號，所以，取樣定理要求的頻寬之外總有一些「小的」能量。不過抗混疊濾波器可使這些能量足夠小，以至可忽略不計。

減採樣

當一個訊號被減採樣時，必須滿足取樣定理以避免混疊。為了滿足取樣定理的要求，訊號在進行減採樣操作前，必須通過一個具有適當截止頻率的低通濾波器。這個用於避免混疊的低通濾波器，稱為抗混疊濾波器。

參考資料

E. T. Whittaker, "On the Functions Which are Represented by the Expansions of the Interpolation Theory," Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sec. A, vol.35, pp.181-194, 1915
H. Nyquist, "Certain topics in telegraph transmission theory," Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617-644, Apr. 1928.
V. A. Kotelnikov, "On the carrying capacity of the ether and wire in telecommunications," Material for the First All-Union Conference on Questions of Communication, Izd. Red. Upr. Svyazi RKKA, Moscow, 1933 (Russian).
C. E. Shannon, "Communication in the presence of noise", Proc. Institute of Radio Engineers, vol. 37, no.1, pp. 10-21, Jan. 1949.