連通空間


連通空間 (简体)

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R² 的連通和不連通子空間。上面的空間 A 是連通的,下面的空間 B 是不連通的。

拓撲學以及相關的數學分支裡面,一個拓撲空間被稱為是連通的,如果它不能夠表示為兩個不相交非空開集聯集(因為開集的補集正是閉集,因此也可以從閉集的角度論述拓撲空間的連通性:一個連通的拓撲空間不能夠表示為兩個不相交的非空閉集的聯集)。連通性是拓撲空間的一個拓撲不變性質,即兩個拓撲空間之間若存在一個同胚映射,其中一個空間是連通的,則另一個空間也是連通的。一些數學家承認空集(按照它獨有的拓撲)是連通空間,不過也有數學家不承認這一點。一個拓撲空間被稱為是不連通的,若它不是連通的。

目錄

連通單元

拓撲空間的極大連通子集稱作連通單元,每個空間都能表成它的連通單元的不相交聯集。連通單元必然是閉的,在夠好的空間(如流形代數簇)上也同時是開的,但並非總是如此。例如有理數集上的連通單元都是單元素集合。如果一個空間的連通單元都是單元素集合,則叫做全不連通空間代數數論中構造的許多拓撲空間都屬於這一類。

路徑連通

R² 的這個子空間是路徑連通的,因為在這個空間的任何兩點之間可繪製一個道路。

如果對空間 X 中任兩點 x,y,都存在連續函數 \gamma: [0,1] \to X 使得 γ(0) = x,γ(1) = y,則稱 X道路連通空間。若定義中的 γ 可取為使得 [0,1] \to \gamma([0,1])同胚,則稱之為弧連通空間。路徑連通的郝斯多夫空間必為弧連通空間。

路徑連通性保連通性,反之則不然。

局部連通

一個拓撲空間被認為是局部連通的,如果空間中的每一點的任何一個鄰域都包含這個點的一個連通鄰域。這裡所說的連通鄰域,就是指這個鄰域所誘導的子拓撲空間按照上面的定義是一個連通空間。 也可以從拓撲基的角度定義局部連通空間:局部連通空間的拓撲基完全是由連通的集合組成的。

例子

引用

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