整數

整數（简体）

數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$

自然數 $\mathbb{N}$
整數 $\mathbb{Z}$
二進分數
 有限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb{Q}$
代數數
 實數 $\mathbb{R}$
複數 $\mathbb{C}$
高斯整數

負數
 分數
 單位分數
 無限小數
 規矩數
 無理數
 超越數
 二次無理數
 虛數
 艾森斯坦整數

延伸

雙複數
四元數 $\mathbb{H}$
共四元數
八元數 $\mathbb{O}$
超數
上超實數

超複數
 十六元數
複四元數
Tessarine
大實數
超實數

其他

對偶數
雙曲複數
 序數
 質數
 同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
 基數
 P進數
 規矩數
整數序列
數學常數

π = 3.141592653...
e = 2.718281828...
虛數單位 $i 2 = - 1$
無窮 ∞

群

群論

基本概念
子群正規子群商群群同態 (半)直積

離散群
有限單群分類循環群 Z_n 交錯群 A_n 散在群馬蒂厄群 M_11..12,M_22..24 康威群 Co_1..3 揚科群 J_1..4 費歇爾群 F_22..24 子怪獸群 B 怪獸群 M 其他有限群對稱群, S_n 二面體群, D_n 無限群整數, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

連續群
李群一般線性群 GL(n) 特殊線性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ 洛倫茲群龐加萊群

無限維群
共形群微分同胚群環路群量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)

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自然數（例如 1、2、3）、負的自然數（例如 −1、−2、−3）與零（0）合起來統稱為整數。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在數學上通常表示為粗體 Z 或 $\mathbb{Z}$ ，源於德語單詞 Zahlen（意為「數」）的首字母。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

代數性質

下表給出任何整數 $a$ ， $b$ 和 $c$ 的加法和乘法的基本性質。

性質	加法	乘法
封閉性	$a + b$ 是整數	$a \times b$ 是整數
結合律	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
交換律	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
存在單位元	$a + \boldsymbol {0} = a$	$a \times \boldsymbol {1} = a$
存在逆元	$a + (\boldsymbol {-a}) = 0$	在整數集中，只有 1 或 -1 關於乘法存在整數逆元，其餘整數 $a$ 關於乘法的逆元為 $\frac{1}{a}$ ，都不為整數。
分配律	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$

全體整數關於加法和乘法形成一個環。環論中的整環、無零因子環和唯一分解域可以看作是整數的抽象化模型。

Z 是一個加法循環群，因為任何整數都是若干個 1 或 -1 的和。1 和 -1 是 Z 僅有的兩個生成元。每個元素個數為無窮個的循環群都與（Z,+）同構。

有序性質

Z 是一個全序集，沒有上界和下界。Z 的序列如下：

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

一個整數大於零則為正，小於零則為負。零既非正也非負。

整數的序列在代數運算下是可以比較的，表示如下：

若 a < b 且 c < d，則 a + c < b + d
若 a < b 且 0 < c，則 a × c < b × c ；若 c < 0，

則 a × c > b × c.

整數環是一個歐幾里德域。

電腦中的整數

字組位元數與整數範圍之關係
字組位元數	非帶號整數		帶號整數		微處理器
字組位元數	下限	上限	下限	上限	微處理器
8	0	255	-128	127	8080 Z80 6502
16	0	65535	-32768	32767	8086 80286
32	0	4.29497×10⁹	-2.14748×10⁹	2.14748×10⁹	80386 80486 Pentium 系 680X0
64	0	1.84467×10¹⁹	-9.22337×10¹⁸	9.22337×10¹⁸	Itanium

主條目：整數 (電腦科學)

整數通常是程式設計語言的一種基礎資料型態，例如 java 及Ｃ程式語言的 int 資料類型，然而這種基礎資料型態只能表示有限的整數，其範圍受制於電腦的一個字組所包含的位元數所能表示的組合總數。當運算結果超出範圍時，即出現演算溢位，微處理器的狀態暫存器中的溢位旗標（overflow flag）會被設定，而系統則會產生溢位例外（overflow exception）或溢位錯誤（overflow error）。

電腦可處理帶號（signed）及非帶號（unsigned）整數，非帶號整數不包括負數。由於一般情況下要同時處理正數及負數，帶號整數把字組的最高有效位元（msb，即最左邊的位元）視為正負號（0代表正，1代表負），而數字則以二補數形式編碼，以簡化二進制運算的邏輯電路。

即使電腦字組的位元數有限，仍可透過編譯器及直譯器以軟體方式結合不同數目的字組以產生新的資料類型來加以擴展，於是在早期的8位元電腦上可處理16及32位元的整數，而在近代的32位元電腦上則可輕鬆地處理64位元的整數了。可變長度的整數（例如 bignum）可以儲存任意大的整數，條件是有足夠記憶體存放。其它類型的整數長度都是固定的，例如某個數目的位元，通常取 2 的某次方（例如 4、8、16 等），或者某個固定位數（例如 9 個位、10 個位）。

相反地，理論上的電腦（例如圖靈機）一般可以有無限的容量（但只是可數集）。本段英文完整版請點此查看

Z 的基數

Z 的基數（或勢）是 ℵ₀，與 N 相同。這可以從 Z 建立一雙射函數到 N 來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \end{cases}$

當該函數的定義域僅限於 Z，則證明 Z 與 N 可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

參見

整數數列線上大全
超整數

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Z 的基數

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