子集

子集 （简体）

子集，為大集合中一部分的集合，故亦稱部分集合。

若 X 和 Y 為集合，且 X 的所有元素都是 Y 的元素，則有：

• X 是 Y 的子集（或稱包含於 Y ）；
• X ⊆ Y;
• Y 是 X 的父集（或稱包含 X ）；
• Y ⊇ X.

所有集合 Y 都是其本身的子集。 不等於 Y 的 Y 的子集稱為真子集。 若 X 是 Y 的真子集，則寫作 X ⊂ Y。 "是……的子集"的關係稱為包含。

目錄 1 符號 2 舉例 3 性質 4 參見

符號

符號 "⊆" 表示任何子集；符號 "⊂" 表示真子集。

舉例

• 集合 {1, 2} 是集合 {1, 2, 3} 的真子集。
• 自然數集合是有理數集合的真子集。
• 集合 {x : x 是大於 2000 的素數} 是集合 {x : x 是大於 1000 的奇數} 的真子集。
• 任意集合是其自身的子集，但不是真子集。
• 空集，寫作 ，是任意集合 X 的子集。（請見下面證明）空集總是其他集合真子集，除了其自身。

性質

命題 1：空集是任意集合的子集。

證明：給定任意集合 A，要證明 是 A 的子集。這要求給出所有 的元素是 A 的元素；但是， 沒有元素。

對有經驗的數學家們來說，推論 "∅ 沒有元素，所以 ∅ 的所有元素是 A 的元素" 是顯然的；但對初學者來說，有些麻煩。 因為 沒有任何元素，如何使"這些元素"成為別的集合的元素？ 換一種思維將有所幫助。

為了證明 不是 A 的子集，必須找到一個元素，屬於 ，但不屬於 A。 因為 沒有元素，所以這是不可能的。因此 一定是 A 的子集。

這個命題說明：包含是一種偏序關係。

命題 2：若 A，B，C 是集合，則：

自反性:

• A ⊆ A

反對稱性:

• A ⊆ B 且 B ⊆ A 若且唯若 A = B

傳遞性:

• 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C 則 A ⊆ C

這個命題說明：對任意集合 S，S 的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題 3：若 A，B，C 是集合 S 的子集，則：

存在一個最小元和一個最大元：

• ∅ ⊆ A ⊆ S (that ∅ ⊆ A is Proposition 1 above.)

存在並運算:

• A ⊆ A∪B
• 若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 則 A∪B ⊆ C

存在交運算:

• A∩B ⊆ A
• 若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 則 C ⊆ A∩B

這個命題說明：表述 "A ⊆ B " 和其他使用並集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。

命題 4: 對任意兩個集合 A 和 B，下列表述等價：

• A ⊆ B
• A ∩ B  =  A
• A ∪ B  =  B
• A − B  =  
• B′ ⊆ A′

參見

• 冪集：某集合的全部子集組成的集合。

性

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