Cartesisch coördinatenstelsel
Een Cartesisch coördinatenstelsel is een orthogonaal coördinatenstelsel waarbij de afstand tussen twee coördinaatlijnen constant is. Voor elke dimensie is er een as en de assen staan onderling loodrecht op elkaar. Alle punten in dit stelsel, die gegeven worden door hun coördinaten ten opzichte van de assen, vormen samen het Cartesisch vlak.
Het is het meest gebruikte coördinatenstelsel, omdat in dit stelsel meetkundige zaken het beste beschreven kunnen worden.
Inhoud |
Geschiedenis
Het Cartesisch coördinatenstelsel is genoemd naar zijn uitvinder de Franse wiskundige en filosoof René Descartes; zijn Latijnse naam was Cartesius.
Descartes ontwikkelde het idee voor dit systeem in 1637 in de volgende publicaties:
- Discours de la méthode
- In het tweede deel introduceert hij het nieuwe idee om de positie van een punt of object op een vlak te aan te duiden door gebruik te maken van twee snijdende assen als meetlijn.
- La Géométrie
- Hierin tast hij het hierboven genoemde concept verder af.
Twee dimensies
Een Cartesisch coördinatenstelsel in twee dimensies is bepaald door twee assen die loodrecht op elkaar staan. De punten in zo'n assenstelsel vormen een vlak, het xy-vlak. De assen worden bij het tekenen meestal horizontaal en verticaal gekozen. De horizontale as wordt de x-as genoemd en de verticale as de y-as. Het punt waar de twee assen elkaar snijden wordt de oorsprong genoemd, aangegeven met O. Op elke as wordt een schaalverdeling gekozen van punten op gelijke onderlinge afstand van een eenheidslengte. Een specifiek punt in het Cartesisch vlak wordt aangegeven door het coördinatenpaar (x,y), gevormd door de coördinaten x en y van het punt die de gerichte afstanden van het punt tot de beide assen voorstellen. Voorbeeld: het punt (5,2) in de afbeelding hieronder.
De pijlen op de assen geven aan dat ze oneindig lang zijn in die richting. De twee assen definiëren samen vier kwadranten, aangegeven met de Romeinse cijfers I, II, III en IV. De kwadranten worden tegen de klok in benoemd beginnend bij het kwadrant rechtsboven. In onderstaande tabel staan de waarden op de x- en y-as voor de kwadranten.
| Kwadrant | x waarden | y waarden |
|---|---|---|
| I | > 0 | > 0 |
| II | < 0 | > 0 |
| III | < 0 | < 0 |
| IV | > 0 | < 0 |
Drie dimensies
Vroeg in de 19e eeuw is het stelsel uitgebreid naar drie dimensies. Hiervoor is er een nieuwe as geïntroduceerd, de z-as.
Een punt in een drie-dimensionale ruimte wordt aangegeven met (x,y,z). Een voorbeeld van een drie-dimensionaal Cartesisch coördinatenstelsel is in de hier onderstaande afbeelding te zien. In de afbeelding staan het punt (2,3,4) afgebeeld.
Oriëntatie
In drie dimensies zijn er twee manieren om de drie assen onderling loodrecht op elkaar te zetten, via de linkshandig coördinatenstelsel en het rechtshandig coördinatenstelsel. De afbeelding hierboven is een rechtshandig coördinatenstelsel. Dit kun je als volgt controleren. Houd de vier vingers van de rechterhand denkbeeldig vanuit de oorsprong gezien in de richting van de positieve x-as. Draai nu de vier vingers richting de positieve y-as. Als tijdens deze handeling de duim in de richting van de positieve z-as wijst, dan hebben we te maken met een rechtshandig systeem. Men kan het ook als volgt uitleggen: als men de duim, wijsvinger en middenvinger, van de rechterhand, in die volgorde langs de x,y en z-as kan leggen, heeft men een rechthandig assenstelsel.
Rechtshandig: 
Linkshandig: 
Wanneer de z-as naar boven wijst wordt het soms een wereldcoördinatenstelsel genoemd, zoals in bovenstaande afbeelding. Het belangrijkste is echter in welke richting de assen met hun positieve kant wijzen ten opzichte van elkaar. Als we een afbeelding in het rechtshandig systeem in een linkshandig systeem punt voor punt zouden visualiseren dan zouden we het spiegelbeeld krijgen.
Het linkshandig systeem wordt ook gebruikt, zij het minder dan het rechtshandig systeem.
Transformatie
Een assenkruis kan ook worden getransformeerd. Hierbij veranderen de coördinaten van de punten in het assenstelsel. In principe zijn er twee vormen van tranformatie te onderscheiden. In het eerste geval verandert de oorsprong, maar blijven de assen evenwijdig met de oorspronkelijk assen; dit wordt ook wel translatie genoemd. In het tweede geval blijft de oorspong gelijk maar verandert de richting van de assen: dit heet rotatie (draaiing). De hoek van rotatie wordt daarbij aangeduid met de griekse letter Φ. Combinaties van beide vormen van transformatie kunnen ook voorkomen.
Referenties
- Descartes, René. Oscamp, Paul J. (trans). Discourse on Method, Optics, Geometry, and Meteorology. 2001.
Zie ook
 |
Voor meer mediabestanden zie de categorie Coordinate systems van Wikimedia Commons. |
stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History