Feldtheorie

Dieser Artikel befasst sich mit der physikalischen Feldtheorie. Für die psychologische Feldtheorie siehe Feldtheorie (Psychologie)

Der Begriff Feldtheorie wird zusammenfassend für die Begriffe klassische Feldtheorie und Quantenfeldtheorie benutzt.

Feldtheorien sind ein mathematischer Unterbau zur Beschreibung all jener physikalischen Effekte, die durch Kräfte bzw. Wechselwirkungen hervorgerufen werden. Sie sind ein zentraler Bestandteil der theoretischen Physik. Man unterscheidet zwischen so genannten Skalarfeldern und Vektorfeldern: ein Skalarfeld ordnet jedem Raumpunkt eine Zahl zu; Beispiele sind die Temperatur und das elektrische Potential. Ein Feld, das jedem Raumpunkt einen Vektor zuordnet, bezeichnet man als Vektorfeld. Beispiele hierfür sind das elektrische Feld oder ein Geschwindigkeitsfeld einer Strömung. In der allgemeinen Relativitätstheorie spielen auch Tensorfelder eine Rolle, und in der Quantenfeldtheorie treten Spinorfelder auf.

Es gibt auch Vektor- bzw. Kraftfelder, die mit einem Skalarfeld verbunden sind, indem seine Feldvektoren Ableitungen des Skalars darstellen. So sind in einem Gravitationsfeld die 3 Komponenten der Anziehung die Gradienten des Schwerepotentials.

Klassische Feldtheorien

Klassische Feldtheorien vernachlässigen die Effekte der Quantenmechanik. Die bekannteste klassische Feldtheorie ist die Elektrodynamik. Auch die Gravitation im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine klassische Feldtheorie. Kräfte wirken hierbei kontinuierlich.

Historisch wurden zunächst zwei Hypothesen über Felder aufgestellt: die Nahwirkungshypothese und die Fernwirkungshypothese. In der Nahwirkungshypothese wird angenommen, dass sowohl die an der Wechselwirkung beteiligten Körper als auch das beteiligte Feld eine Energie besitzen, hingegen in der Fernwirkungstheorie nur die beteiligten Körper. Zudem würden sich gemäß der Fernwirkungshypothese Störungen instantan ausbreiten. Diese Diskussion ging von Isaac Newton, Pierre-Simon Laplace und Michael Faraday aus. Da im Fall statischer (d. h.: zeitlich gleich bleibender) Felder zwischen beiden Hypothesen nicht experimentell unterschieden werden kann, blieb die Frage bis zur Entdeckung elektromagnetischer Wellen durch Heinrich Hertz unentschieden. Elektromagnetische Wellen können sich nämlich nur dann ausbreiten, wenn das Feld selbst über eine Energie verfügt.

Man unterscheidet zudem zwischen relativistischen und nichtrelativistischen Feldtheorien.

Formalismus der Feldtheorien

Alle Feldtheorien können über den mathematischen Formalismus der Lagrangedichten beschrieben werden. Dieser ist eine Erweiterung des Lagrange-Formalismus der Mechanik. Ist für eine Feldtheorie eine Lagrange-Dichte $\mathcal L=\mathcal L(\phi_i,\partial\phi_i)$ bekannt, dann führt eine Variation der Wirkung

$S=\int \mathrm{d}^nx \mathcal L(\phi_i,\partial\phi_i)$

analog zum Vorgehen in der klassischen Mechanik (einschließlich partieller Integration) auf die Euler-Lagrange-Gleichung der Feldtheorie:

$\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - {\partial_\mu} \frac{\partial\mathcal L}{\partial ( \partial_\mu \phi_i ) } = 0 \quad i= 0,1,...$

Diese Gleichungen bilden ein System von Differentialgleichungen, die das Verhalten der Felder eindeutig festlegen. Daher bezeichnet man sie auch als Bewegungsgleichungen einer Feldtheorie. Um ein bestimmtes physikalisches System zu beschreiben ist es notwendig, die Randbedingungen geeignet festzulegen. Viele physikalische Probleme sind jedoch derart komplex, dass eine allgemeine Lösung des Problems unmöglich oder nur über numerische Verfahren zugänglich ist. Dennoch ermöglichen die Lagrangedichten in der Feldtheorie eine systematische Untersuchung von Symmetrien und Erhaltungsgrößen.

Die Bewegungsgleichung für Felder

So, wie man die Lagrangegleichungen 2. Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrangegleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten.

Dazu variiert man das Feld

$\phi(x,t) \rightarrow \phi(x,t) + \delta \phi(x,t)$

womit auch die räumliche und zeitliche Ableitung variiert werden, zu

$\frac{\partial \phi}{\partial x} \rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial x} + \delta \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} \delta \phi$

$\frac{\partial \phi}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial t} \delta \phi$

Wie bei der Herleitung der Lagrangegleichungen 2. Art schreibt man das Integral in erster Ordnung mit

$\delta \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \, \mathcal{L}$

$=\int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \left[\mathcal{L}\left(\phi + \delta \phi , \frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial t} \delta\phi , \frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} \delta \phi, t \right) - \mathcal{L}\left(\phi , \frac{\partial \phi}{\partial t} , \frac{\partial \phi}{\partial x} , t \right) \right]$

$=\int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}} \frac{\partial}{\partial t} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial x}}\frac{\partial}{\partial x}\delta \phi \right]$

Nun führt man in den räumlichen und zeitlichen Integralen eine partielle Integration aus, so dass die Ableitungen von den Variationstermen abgewälzt werden. Für die zeitliche Integration gilt demnach

$\int_{t_1}^{t_2} \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}}\frac{\partial}{\partial t} \delta \phi = \left[\int \mathrm{d}x \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}} \delta \phi \right]_{t_1}^{t_2} - \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}} \delta \phi$

Hierbei wird benutzt, dass

δφ(x, t 1) = δφ(x, t 2) = 0

ist, da Anfangs- und Endpunkt festgehalten werden. Daher gilt für die Randterme

$\left[\int \mathrm{d}x \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \frac{\partial \phi}{\partial t}} \delta \phi \right]_{t_1}^{t_2} = 0$

Mit der räumlichen Ableitung verfährt man analog, wobei die Randterme verschwinden, weil die Felder in großer Entfernung gegen Null gehen (z. B. wenn die Lagrange-Dichte ein Teilchen beschreibt) oder sie im Falle einer schwingenden Saite an den Enden fest sind; d. h. dass in diesen Punkten die Auslenkung, welche durch $φ(x, t)$ beschrieben wird, verschwindet.

Damit resultiert schließlich

$\delta \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \, \mathcal{L} = \int \mathrm{d}t \int \mathrm{d}x \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x}}\right] \delta \phi$

Da nun $δφ$ als Faktor des gesamten Integrals auftritt und beliebig ist, kann das Integral nur dann nach dem Variationsprinzip verschwinden, wenn der Integrand selbst verschwindet. Es gilt also

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x}} = 0$

Im dreidimensionalen Fall kommen einfach die Terme für y und z hinzu. Die vollständige Bewegungsgleichung lautet demnach

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial t}} - \sum_{i=1}^3 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \phi}{\partial x_i}} = 0$

Oder in obiger Darstellung und in der Verallgemeinerung für $N$ Skalarfelder $Φ i$

$\frac{\partial\mathcal L}{\partial\phi_i} - {\partial_\mu} \frac{\partial\mathcal L}{\partial\partial_\mu \phi_i} = 0, \quad i=1,\dots,N$

Feldtypen

In der Feldtheorie wird zwischen Quellenfeldern und Wirbelfelder unterschieden. Quellenfelder besitzen als Ursache Quellen und Senken auf denen ihre Feldlinien entspringen und enden. Wirbelfelder besitzen als Ursache sogenannte Wirbel, um die sich ihre Feldlinien in geschlossener Form zusammenziehen.

Quellenfeld

Für ein allgemeine Feldgröße X ist ein Quellenfeld dann gegeben, wenn die Divergenz ungleich 0 ist und die Rotation gleich 0 ist:

$\mathbf{\operatorname{div}} \mathbf X = \nabla \cdot \mathbf X \ne \mathbf 0 , \qquad \mathbf{\operatorname{rot}} \mathbf X = \nabla \times \mathbf X = \mathbf 0$

Quellenfelder lassen sich je nach ihren Randwertstellung in Newton-Felder und Laplace-Felder einteilen. Newton-Felder existieren in einer räumlich unbegrenzten Umgebung einer Quelle bzw. Senke. Ein Beispiel ist das Gravitationsfeld. Laplace-Felder existieren in der endlichen Umgebung von einer Kombination aus Quellen und Senken und stellen so genannte Randwertprobleme dar. Beispiel eines Laplace-Feld ist das elektrostatische Feld zwischen zwei gegensinnig elektrisch geladener Elektroden. Newton- bzw. Laplace-Felder können auch in gemischter Konfiguration auftreten.

Wirbelfeld

Die Feldlinien von Wirbelfeldern sind in sich geschlossen und nicht an die Existenz von Quellen und Senken gebunden. Die Bereiche um die sich Feldlinien zusammenziehen, werden als Wirbel (engl. curl) bezeichnet und es gilt:

$\mathbf{\operatorname{rot}} \mathbf X = \nabla \times \mathbf X \ne \mathbf 0, \qquad \mathbf{\operatorname{div}} \mathbf X = \nabla \cdot \mathbf X = \mathbf 0$

Ähnlich wie Quellenfelder lassen sich auch Wirbelfelder in die Klasse der Newton-Felder und Laplace-Felder unterteilen. Beispiele eines Newton-Feldes ist die Dichte des Verschiebungsstromes einer elektromagnetischen Welle. Ein Beispiel eines Laplace-Feldes ist das elektrische Wirbelfeld, welches sich um einen zeitlich sich ändernden magnetischen Fluss bildet.

Allgemein

Im allgemeinen Fall besteht ein beliebiges Feld X aus einer Überlagerung eines Quellenfeldes X_Q und eines Wirbelfeldes X_W. Dieser Zusammenhang wird wegen seiner zentralen Stellung als Fundamentalsatz der Vektoranalysis oder als das Helmholtz-Theorem bezeichnet:

$\mathbf X = \mathbf X_Q + \mathbf X_W$

Jeder Summand kann sich dabei nochmal aus einer Überlagerung eines Newton- und eines Laplace-Feldes zusammensetzen, womit die Gleichung vier Komponenten aufweisen kann.

In der Feldtheorie ist ein Feld dann eindeutig spezifiziert, wenn sowohl seine Quellen- und Wirbeldichten als auch Aussagen über eventuell vorhandene Ränder und dort herrschende Randwerte vorliegen. Die praktische Bedeutung für die Aufspaltung ist in der leichteren Zugänglichkeit der einzelnen Problemstellung begründet. Ausserdem lassen sich in vielen praktisch bedeutsamen Anwendungen die Problemstellung auf nur eine Komponente reduzieren.

Quellen & Literatur

Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Springer Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42018-5
Arnim Nethe: Einführung in die Feldtheorie. Köster, Berlin 2003, ISBN 3-89574-520-0
Ashok Das: Field theory - a path integral approach. World Scientific, Singapore 2006, ISBN 978-981-256-848-9
Lev D. Landau: The classical theory of fields. Elsevier, Butterworth-Heinemann, Amsterdam 2005, ISBN 0-7506-2768-9
Parry Moon, (et al.): Field theory handbook. Springer, Berlin 1971, ISBN 0-387-02732-7

Weblinks

Bo Thidé: Classical Electrodynamics - Lehrbuch (engl.)

Kategorie: Feldtheorie

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