Поле (алгебра)

В алгебрата поле се нарича множество F, в което са дефинирани две бинарни операции (наричани обикновено събиране и умножение и обозначавани с „+“ и „·“), ако отговаря на следните условия:

затворено е спрямо двете операции;
двете операции са асоциативни и комутативни;
съществуват неутрални елементи спрямо двете операции (най-често наричани „нула“ и „единица“);
съществуват обратни елементи за всеки елемент спрямо първата операция и спрямо втората за всеки елемент без единичния елемент на първата операция („нулевия елемент“);

Други определения

Възможни са други определения при използване на термини за множества, частично удовлетворяващи горните условия:

поле е комутативен асоциативен пръстен c единица, в който всички ненулеви елементи са обратими;
поле е комутативно тяло;
множеството F е поле, ако образува комутативна група по отношение на събирането и всички ненулеви елементи образуват комутативна група по отношение на умножението. В сила са дистрибутивните закони, които свързват двете операции.

Аксиоматично определение за поле

Множеството A се нарича поле ако в него са дефинирани две операции (адитивна и мултипликативна) и ∀a,b,c∈A са верни следните твърдения:

a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
Съществува неутрален елемент за адитивната операция 0∈A

a + 0 = a

∀a∈A ∃(-a)∈A: a + (-a) = 0

a . b = b . a
(a . b) . c = a . (b . c)
Съществува неутрален елемент за мултипликативната операция 1∈A

a . 1 = a

∀a∈A, a≠0 ∃(a^-1)∈A: a . a^-1 = 1

(a + b) . c = a . c + b . c

Примери

$\mathbb{Q}$ — множеството на рационалните числа,
$\mathbb{R}$ — множеството на реалните числа,
$\mathbb{C}$ — множеството на комплексните числа,
$\mathbb{Z}_p$ — множеството от остатъци по модул p, където p е просто число.
$\mathbb{F}_q$ — крайни полета с $q = p k$ елемента, където p е просто, а k — естествено число.

Категория: Абстрактна алгебра

stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History