Охлюв на Паскал

Охлюв на Паскал е равнинна алгебрична крива от четвърти ред, която се задава с полярно уравнение $\rho = a \cos \varphi + l$ и декартово уравнение $(x 2 + y 2 - a x) 2 = l 2 (x 2 + y 2)$ .

Кривата е симетрична спрямо абсцисата. В началото на координатната система точката от кривата е особена:

изолирана точка при $a < l$ ; и две симетрично разположени инфлексни точки.
рогова точка от първи род при $a = l$ : тогава охлювът на Паскал се изражда в кардиоида.
двойна точка при $a > l$ : кривата се самопресича и има примка, нарича се трисектриса.

Охлювът на Паскал може да се построи геометрично по следния начин: дадена е окръжност и точка Р (без значение къде спрямо окръжността). Последователно се изчертават всички окръжности с центрове точки от окръжността, такива че минават през Р. Обвивката на тази фамилия окръжности е охлювът на Паскал. Кардиоидата се получава когато Р принадлежи на началната окръжност, а трисектриса с примка — когато Р е външна за окръжността.

Площта, ограничена от охлюва на Паскал е $S = \frac{\pi a^2}{2} + \pi l^2$ , а дължината на кривата се изразява с елиптичен интеграл от втори род.

Кривата е обстойно изследвана от Етиен Паскал, баща на математика и философ Блез Паскал. Преди него е разглеждана и от немския ренесансов художник Албрехт Дюрер, в неговия труд „Underweysung der Messung“ (1525). Наречена е „охлюв на Паскал“ по предложение на Жил де Робервал.

Частни случаи на охлюва на Паскал: вдлъбнат охлюв, кардиоида и трисектриса

Източници

„Математически термини“, Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
„The Penguin Dictionary of Mathematics“, John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989

Външни препратки

Категория: Криви

stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History