Обикновено диференциално уравнение


Broom icon.svg
 Тази статия се нуждае от подобрение.
Необходимо е: форматиране. Ако желаете да помогнете на Уикипедия, просто щракнете на редактиране и нанесете нужните корекции.

Диференциални уравнения от първи ред

Диференциални уравнения от N-ти ред

Важна роля в приложните научни дисциплини играят диференциалните уравнения от типа:

{a_0{{d^n y} \over {dx^n}}} + a_1{{d^{n-1}y} \over {dx^{n-1}}}+ ....+ a_{n-1}{{dy} \over dx}+ a_n.y = b ,

където а и b могат да са функции на х или константи.

За удобство при решаването на това интегрално уравнение n-тата производна спрямо х се обозначава с Dn.


Ползвайки този оператор D горното диференциално уравнение може да се запише като:

\mathbf{ a_0D^ny + a_1D^{n-1}y+ .....a_{n-1}Dy + a_ny = b}

Ако b=0 - горното линейно диференциално уравнение се нарича хомогенно. Ако b е различно от 0 - уравнението се нарича нехомогенно.

Решение на хомогенни диференциални уравнения от втори ред

a{{d^2 y} \over {dx^2}} + b{{dy} \over {dx}}+cy =0
При решението на диференциални уравнения от втори и по-висок ред ползваме оператора D - имащ значение на диференциране спрямо х.

Да поясним какво е значението на този оператор:

Dy = dy / dx
(D + 1)y = dy / dx + y
(D − 2)(D + 1)y = (D − 2)(dy / dx + y) = d2y / dx2 + dy / dx − 2dy / dx − 2y = D2y − Dy − 2y
(D − 2)(D + 1)y = (D2 − D − 2)y

Забележете че D има смисъл на математическа операция - а не на променлива и че с D можем да извършваме прости математически операции като събиране, изваждане и умножение. Тук няма да доказваме свойствата на този оператор. Чрез използването на този оператор решението на диференциалното уравнение се свежда до намиране на първа производна на функция и до събиране със същата функция.

Диференциалното уравнение от втори ред добива следния вид:

aD2y + bDy + cy = 0 => (aD2 + bD + c)y = 0


Решаваме горното квадратно уравнение и получаваме:

\mathbf{ a(D-y_1)(D-y_2)y=0}


Полагаме

z = (D − y2)y , където (D − y2)y е функция на х.

Тогава цялото диференциално уравнение се свежда до:

(D − y1)z = 0
{dz \over dx}- y_1.z = 0

Това уравнение се решава лесно чрез разделяне на променливите:

{dz \over dx}= y_1.z
{dz \over z}- y_1.dx =0
ln {z \over C_1}= y_1.x

z=C_1.e^{y_1.x}

Заместваме полученият резултат за z в

(D-y_2)y = C_1.e^{y_1.x}


Това е линейно диференциално уравнение от първи ред.

dy -y_2.y.dx = C_1.e^{y_1.x}.dx

y'-y_2.y= C_1 .e^{y_1.x}


(y.e^{-y_2.x})'= y'e^{-y_2.x} - y. e^{-y_2.x}.y_2=e^{-y_2.x}.(y' - y_2.y)

y'-y_2.y= (y.e^{-y_2.x})'.e^{y_2.x} = C_1 .e^{y_1.x}

(y.e^{-y_2.x})' = C_1 .e^{y_1.x}.e^{-y_2.x} = C_1 .e^{(y_1 -y_2).x}


интегрираме и получаваме следното решение:

y.e^{-y_2.x}= \int C_1.e^{(y_1 -y_2).x}dx + C_2


Преобразуваме:

y= e^{y_2.x}.\int C_1.e^{(y_1-y_2).x}dx + C_2.e^{y_2.x}

Когато y1 и y2 са реални числа, решението за функцията y е:

y= c_1e^{y_1.x} + c_2.e^{y_2.x}







stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History