Логаритъм

Графики на функцията логаритъм при различни основи

Логаритъм е единственото реално решение на уравнението а ^х = b, където а е реално число, по-голямо от единица , а b е само реално положително число. Логаритъмът е степенният показател x, на който повдигаме основата на степента a, за да получим числото b.

Това се записва така:

x = log_ab
Чете се: Хикс е равно на логаритъм от b при основа a .

Особено често се използват логаритми с основа числото e и с основа 10. Те имат собствени означения и наименования:

Логаритъм с основа числото e се нарича „естествен логаритъм“ и се бележи с ln.
Логаритъм с основа числото 10 се нарича „десетичен логаритъм“ и се бележи с lg.

Логаритъмът с дадена основа е обратна функция на степенната функция със същата основа, например естественият логаритъм е обратна функция на експонентата. Другото интересно свойство на естествения логаритъм е, че неговата производна спрямо променливата х е равна на 1/х.

История

Логаритмите са „изобретени” от Джон Непер_(1550 - 1617) – шотландски математик, лорд на Мърчистън, и от Йобст Бюрги – приятел на Кеплер и кралски придворен часовникар в Прага, както и майстор на астрономически инструменти. Непер изобретява логаритмите преди 1594 г., но публикува откритието си едва след 20 години. В заглавието на труда му „Описание на чудната таблица на логаритмите” ("Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio") личи същият възторг, с който логаритмите са били посрещани навсякъде. Логаритмите с основа е са въведени от лондонския учител по математика Джон Спийдъл; през 1619 г. той издава таблица на „новите логаритми” на числата от 1 до 1000. Тези логаритми възникват „естествено” при определяне на лицата, ограничени от хиперболата у=1/х (Лицето на фигурата, ограничено от хиперболата 1/x и правите x=a и x=b, при a<b, e ln b - ln a); затова Николаус Меркатор нарича логаритмите при основа е „естествени” или „хиперболични”. Италианският математик Пиетро Менголи също отбелязва важността на логаритмите с основа е и ги нарича Logarithmi naturali (натурални логаритми). Термините „логаритъм” и „антилогаритъм”, въведени от Непер, получават днешния си смисъл у Джон Уолис (1693). Непер разбира под логаритъм log sin α, а под антилогаритъм log cos α. Понятието характеристика, както и самият термин се появяват първоначално в „Arithmetica logarithmica” на Хенри Бригс през 1624 г.; в таблиците на Непер както числата, така и техните логаритми са цели. Записването на знака над характеристиката започва от Уилям Отред в изданието на „Clavis mathematicae” (1652), но не получава веднага признание. Мантисата (от етруското mantisa – „добавка”, „придатък”) е въведена от Уолис, който нарича така дробната част на произволна десетична дроб. За първи път Ойлер използва тази дума за означаване на десетичните знаци само на логаритъма (1748). Думата „основа” е заимствана от теорията на степенуването и е пренесена в теорията на логаритмите от Ойлер. Модулът на прехода е използван още от Меркатор, а терминът е въведен от Роджър Коутс (1712). Глаголът „логаритмувам” се появява едва през XIX век. Непер не използва никакви символи за означаване на логаритмите. Утвърждаващите се съкращения Log, log или l (у Кеплер, Бригс и Отред съответно през 1624, 1631 и 1647 г.) са се употребявали около столетие без строгото им различаване. Коши пръв предлага да се въведат различни знаци за десетичните и естествените логаритми. Означения, близки до съвременните, са въведени от немския математик Прингсхайм (1893). Независимо от бързото разпространяване на логаритмите и утвърждаването им в практиката в тяхната теория остават още много неясни моменти дори за изключителните умове на онова време.

Свойства на логаритмите

При всяка основа a, $log a 1 = 0$ , тъй като $a 0 = 1$ .

$\forall a,b,c>0$ и $a \ne 1$

$\log_a \left (bc \right) = \log_a b + \log_a c$
$\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
$log a b p = p log a b$
$\log_a \sqrt[r] {b} = \frac{1}{r} \log_a b$
$\log_a b = log_{a^k} b^k$
Основно логаритмично равенство:

$a^{log_a b} = b$

Логаритмични таблици

Названието, въведено от Непер, произхожда от гръцките думи λόγος и άρίθμός и означава буквално „числа на отношенията”; обяснява се с това, че логаритмите възникват при съпоставянето на членовете на две редици. Основата на неговите логаритми е близка до 1/е. Английският математик Бригс опростява таблиците на Непер и го убеждава да премине към десетична основа (1624). Тези логаритми впоследствие започват да се наричат „бригови”, „десетични” или „обикновени”. Таблиците на Бюрги са съставени през периода 1603-1611 г. Предполага се, че са били публикувани след 10 години под названието „Таблици за геометричната и аритметичната прогресия заедно с подробно наставление, как да се разбират и използват при всякакви пресмятания”. Те остават незабелязани до 1856 г. Таблиците за десетичните антилогаритми са съставени от английските математици Пел и У.Уорнър между 1630 и 1640 г. Естествените антилогаритми са пресметнати от барон фон Вега – австрийски офицер и математик (1794).

Вижте също

Децибел

Уикицитат съдържа

колекция от цитати от / за .

Категория: Математически анализ

stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History