Версиера

Конструкция на версиера (къдрица на Анези)

Версиера в математиката е алгебрична крива от трета степен. Изследвана е от италианската математичка Мария Гаетана Анези, и поради това наречена на нейно име „къдрица на Анези“.

Кривата се строи по следния начин: Фиксирана е окръжност и произволна точка О върху нея, както и нейната диаметрално противоположна М. За произволна друга точка от окръжността А е прекарана секущата права ОА, пресичаща в точка N допирателната, прекарана към окръжността в точка М. Успоредната на ОМ права през N и перпендикулярната на ОМ права през А се пресичат в точка Р. При изменението на точка А, описваната траектория от точка Р представлява версиерата.

Кривата има асимптота в лицето на допирателната към окръжността в точка О.

Уравнения

Да допуснем, че точка О е началото на координатната система, а М лежи на положителната част от ординатата. Нека радиусът на окръжността е $a$ .

Тогава кривата има уравнение в декартови координати $y = \frac{8a^3}{x^2+4a^2}$ .

Параметрично изразено, ако $θ$ е ъгълът между OM и OA (мерен по часовниковата стрелка), кривата се определя чрез уравненията

$x = 2a \tan \theta,\ y = 2a \cos ^2 \theta.\,$

Областта между къдрицата и нейната асимптота има площ 4 пъти площта на фиксираната окръжност, т.е. $4π a 2$ . При ротация на кривата около асимптотата се получава тяло с обем $4π 2 a 3$ Центърът на тежестта на областта лежи в точката с координати $(0,\frac{a}{2})$ .

Външни препратки

Страница за версиерата на сайта Mathworld Wolfram

Категория: Криви

stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History