Крива на Вивиани

Кривата на Вивиани в пространството и с трите ѝ проекции върху координатните равнини

Кривата на Вивиани е пространствена алгебрична крива, която се получава при пресичането на цилиндър със сфера. Кривата е наречена на ученика на Галилей, Винченцо Вивиани, който я е изучавал през 1692 г., макар че преди това кривата е разглеждана и от Жил де Робервал (1666) и от Антоан де Лалубер (1660).

Уравнения

Нека сферата е зададена с уравнението в декартови координати $x^2 + y^2 + z^2 = 4a^2 \;$ , където радиусът ѝ е $2 a$ , а центърът ѝ съвпада с координатното начало (0,0,0). Нека цилиндърът е зададен с уравнението $(x-a)^2 + y^2 = a^2 \;$ с радиус $a$ и центърът му е в точката (a,0,0).

Тогава, при решаване на x и y като функции на z, получаваме:

$x = 2a - \frac{z^2}{2a} , y = \pm \frac{z}{2} \sqrt{4 - \frac{z^2}{a^2}}$ .

Кривата още се дефинира и с параметричните си уравнения:

$x = a(1 + \cos t) , y = a \sin t , z = 2a \sin{(\frac{1}{2} t)}$

за t ∈ (-2π, 2π).

Тези формули обуславят и трите проекции на кривата върху координатните равнини:

Върху равнината XY проекцията е окръжност;
Върху равнината XZ проекцията е сегмент от парабола;
Върху равнината YZ проекцията е самопресичаща се крива от рода на лемнискатата на Бернули.

Външни препратки

Категория: Криви

stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History