Конично сечение

Конични сечения. А) парабола. В) елипса и окръжност. С) хипербола

Конично сечение в математиката е алгебрична крива от втора степен, която може да се получи от сечението на правилна конична повърхнина с равнина. Видовете конични сечения са били известни още на древните гърци; получават имената си от Аполоний Пергски, който систематично да изследвал свойствата им.

Съдържание

1 Геометрично представяне
2 Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки
3 Свойства
4 История
5 Методи и инструменти за чертане
6 Приложения
7 Източници
8 Външни препратки

Геометрично представяне

Три са видовете конични сечения:

елипса — затворена крива с два фокуса. Частен случай е окръжността, която се получава при пресичане на прав кръгов конус с равнина, перпендикулярна на оста му.
парабола — отворена крива с един фокус. Получава се при пресичане на конуса с равнина, успоредна на образувателната му.
хипербола — отворена крива, състояща се от два клона, има два фокуса. Представлява сечение на двата ръкава на конуса с равнина, която не е успоредна на негова образувателна.

Думите „елипса“, „парабола“ и „хипербола“ произхождат от гръцки език и означават съответно „недостиг“ (έλλειψη), „прилагане“ (παραβαλη) и „излишък“ (ὑπερβολή). Въведени са от Аполоний във връзка с дефинираната от него процедура „прилагане“ за построяване на правоъгълник с дадена основа, равнолицев с друг даден правоъгълник.^[1]

В случаите когато равнината минава през върха на коничната повърхнина, се наблюдават различни изродени случаи на конични сечения:

права линия — когато равнината допира коничната равнина и сечението на двете представлява образувателна на конуса.
двойка пресечни прави — когато равнината сече конуса под по-малък ъгъл, от този между образувателната и оста на ротация.
точка — когато равнината сече конуса под по-голям ъгъл.

Аналитично представяне. Представяне като геометрично място на точки

Друг начин за дефиниране на коничните сечения е посредством точка и права.^[2] Нека F е фиксирана точка в равнината, а d - права, неминаваща през F. Нека М е произволна точка и за нея разгледаме разстоянията MF и MM' до правата d (където $\textstyle{M' \in d , MM' \perp d}$ ) и по-специално тяхното отношение: $\frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e$ , наречено ексцентрицитет.

Множеството от точки М в равнината, за които така определеният ексцентрицитет е постоянно число, се нарича конично сечение, точка F — фокус, а правата d — директриса.

Нека е въведена декартова координатна система $O ξη$ , такава че $O η$ съвпада с правата d, оста $O ξ$ минава през F. В така подбраната координатна система правата d има уравнение $ξ = 0$ , а F има координати (p, 0), където p е разстоянието от фокуса F до директрисата d. Така от дефиниционното равенство $\frac{ \mid MF \mid}{ \mid MM' \mid} = e$ следва, че $\displaystyle{(\xi - p)^2 + \eta^2 = e^2\xi^2}$ , което след преобразувание приема вида:

$\displaystyle{(1-e^2)\xi^2 + \eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}$ , което е уравнение от втора степен на двете неизвестни

ξ,η

Двата основни случая се определят в зависимост от това дали коефициентът пред $ξ 2$ се нулира или не, т.е. в зависимост от това дали ексцентрицитетът е равен на или различен от 1.

При $e = 1$ , уравнението приема вида $\displaystyle{\eta^2 - 2p\xi + p^2 = 0}$ , което след полагането $\displaystyle{\xi = x + \frac{p}{2}, \eta = y}$ а оттам след обратно преобразувание се получава и каноничното уравнение на параболата: $\displaystyle{y^2 = 2px}$
Оттук и дефиницията на параболата като геометричното място на точки, които са равноотдалечени от точка и права.^[3]
Нека . С полагането на се прави транслация на координатната система, където α е неизвестната величина, която подлежи на определяне. След заместването и елементарни преобразувания, следва че , оттук и . Оттук насетне има два случая, в зависимост от е.
1. При $e < 1,1 - e 2 > 0$ и като разделим на $\frac{p^2e^2}{1 - e^2}$ , при полагане на $a = \frac{pe}{1 - e^2} , b = \frac{pe}{\sqrt{1 - e^2}}$ получаваме, че $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ , което се нарича канонично уравнение на елипсата.
  Елипсата се определя и като геометричното място от точки, за които сумата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция).^[3]
2. При $e > 1 , \frac{p^2e^2}{e^2 - 1} > 0$ и като разделим на $\frac{p^2e^2}{e^2 - 1}$ , при полагане на $a = \frac{pe}{e^2 - 1} , b = \frac{pe}{\sqrt{e^2 - 1}}$ получаваме, че $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ , което се нарича канонично уравнение на хиперболата.
  Хиперболата се определя и като геометричното място от точки, за които абсолютната стойност на разликата от разстоянията до две предварително фиксирани точки е постоянно число (бифокална дефиниция). ^[3]

И така, трите вида конични сечения се получават в зависимост от стойността на ексцентрицитета, като:

при $e < 1$ коничното сечение е елипса, има два фокуса и две директриси,
при $e = 1$ коничното сечение е парабола, има един фокус и една директриса,
при $e > 1$ коничното сечение е хипербола, има два фокуса и две директриси.

Свойства

Всяко конично сечение е симетрично спрямо права, минаваща през фокуса и перпендикулярна на директрисата.

История

Коничните сечения са били изследвани от много математици на древността.

Учителят на Александър Македонски, Менехъм, открива около 340 г.пр.н.е., че трите криви са сечения на равнина с конус. В негова чест Ератостен ги нарича „триада на Менехъм“. По времето на Менехъм и Ератостен известният начин за построяване на елипсата, параболата и хиперболата бил като към три различни конуса, наричани съответно „остроъгълен“, „правоъгълен“ и „тъпоъгълен“, се пуска секуща равнина, перпендикулярна на техните образувателни.

Около 225 г. Аполоний Пергски построява трите криви, като фиксира конуса, а пуска секущата равнина под различни към него ъгли.^[4]

През 17 век коничните сечения биват описани в декартови координати от Джон Уолис и Ян де Вит, който дава и определенията на термините директриса и фокус на конично сечение.^[5]

Методи и инструменти за чертане

^{Този раздел е празен или е мъниче. Можете да помогнете на Уикипедия като го разширите.}

Първите инструменти за изчертаване на елипси вероятно са изобретени от Прокъл и Исидор Милетски през 5 - 4 в.пр.н.е.^[4] Представлявали са проста конструкция с конец, която работи на принципа на бифокалната дефиниция на елипсата.

Друг метод за изчертаване на елипси е наречен по името на Архимед. При него се взима отсечка АС, върху която се отбелязва точка В. Когато точките А и В се движат съответно по две пресичащи се прави оси, „пишещият“ елемент в точка С изчертава елипса.

Приложения

Приложение коничните сечения имат в астрономията: те участват в математическия апарат, с който Кеплер и Исак Нютон описват движението на планетите. Кеплер формулира закона, че планетите се движат по елипсовидна орбита, в единия фокус на която се намира Слънцето. По-общо, всички небесни тела, които се намират под въздействието на слънчевата гравитация и върху които не оказват влияние други сили, се движат по орбита с форма на някое конично сечение, за което Слънцето е фокус. Непериодичните комети се движат по парабола и хипербола, а периодичните — по силно издължени елипси.^[6]

Източници

↑ "Лексикон Математика", изд. Абагар, Холдинг, София, 1995
↑ „Линейна алгебра и аналитична геометрия“, М. Гаврилов, Г. Станилов, Софтех, София, 1998
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 Справочник по висша математика, Георги Каменаров, Издателство „Техника“, 1994
↑ ^4,0 ^4,1 "Математически термини", Н.В. Александрова, ДИ Наука и изкуство, София, 1984
↑ "The Penguin Dictionary of Mathematics", John Daintith, R.D. Nelson, Penguin Books, 1989
↑ „Информация за коничните сечения“. PlanetMath.org. Взето на 17/05/2007

Външни препратки

Общомедия разполага с мултимедийно съдържание за

Конично сечение.

Интерактивни визуализации на Java на методи за построение на конични сечения (елипса, парабола и хипербола с линийка и пергел, елипсографи на Архимед и ван Схоотен и др.
Daina Taimina. „Historical Mechanisms for Drawing Curves“ (PDF). Cornell University. Взето на 20/05/2007

Категории: Раздели мъничета | Криви

stock | retire | vm
Why are we here?
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License
This page is cache of Wikipedia. History